Théorème I. Étant donnée une section conique, si par un

point p du plan on mène une sécante quelconque mm' (fig. 169), le

lieu du point p' conjugué harmonique du point p, par rapport aux

deux points d'intersection m et m' de la sécante et de la courbe, est

une ligne droite. Soient

f{x,y) = kx2 + zBxy + Cy2 + aD-z + ?Ey + F — a

l'équation de la courbe, xA et yi les coordonnées du point p; une sécante quelconque menée par le point p pourra être représentée par le»

équations

x—xx y—y\ (7) != ik-—*

Fig. 169. w/ a 0

dans lesquelles a et b désignent deux constantes, et p la distance du point p à un point quelconque m de la droite, distance affectée du signe + ou du signe — , suivant que le point m est par rapport au point p d'un côté ou de l'autre; on en déduit x = xx + ap, y =yt + Ap, En portant ces valeurs dans l'équation de la courbe, on obtient une équation du second degré en p,

f(Xi + a?>yi + à?) = o, qui donne les distances p' et p" du point p aux deux points m et m'. L'équation développée devient

(Aa2 + 2Bab + Cô») p8 + (af'xt + bfy,) p + flff„yi) = o,

ou, si Ton prend pour inconnue -,

f(*„ yù -7 + (^ + i/ÏJ - + (Aa2 + *Bab + Ci») = o.

Appelons r la distance du point p au point conjugué harmonique p'. D'après la relation (5), on doit avoir

Mais, en vertu de la dernière équation, i , i aht+àfy

on en déduit

Le point />' appartenant à la droite pmrri, ses coordonnées x et y vérifient les équations (7) de cette droite, c'est-à-dire que l'on a a? — xi=ar , y—y^br; en remplaçant «r et £r par ces valeurs dans l'équation précédente, on élimine les paramètres variables aet b et l'on obtient l'équation du lieu

(8) (x-xi)rsi + (y-'y1)f;i + ^(^yi) = of

qui est du premier degré. Ainsi le lieu cherché est une droite ; cette droite P est appelée l&polaire du point p et le point p le pâle de la droite P.

Si l'on fait les calculs, 1p. terme constant

»A*i>yi) — ^i/St— »i/ïi

fie réduit à 2D#1+2E?/i-|-2F et l'équation précédente devient

*A + y/5,+ iaD^i + 2%< + aF) = o.

Mais on peut effectuer cette réduction d'une autre manière; imaginons, comme précédemment, que dans le polynôme

x v f(x, y) on remplace x et y par- et-, et que l'on multiplie

tous les termes par z2, ce polynôme se changera en un polynôme homogène et du second degré, que nous représenterons par f{xy ?/, z). On a identiquement, d'après la propriété des fonctions homogènes que nous avons rappelée (n° 291),

*/* + yfy + zfz = a/fo y> s) ;

on en déduit a/(a?, y, z) — xfx — yfy = */;' , ou bien, en remplaçant x, y, z par xu yt, zl9

*A*i > 2/ 1 > *i) — * i/*f — y/yt = «i/v On peut donc écrire l'équation (8) sous la forme

^+^+^1/^ = 0, ou, pour plus de symétrie,

en convenant de remplacer, après les dérivations, zetzt par l'unité. Si l'on développe cette équation, on reconnaît qu'elle ne change pas quand on y permute les lettres x et xif y et yi9 z et zi9 et l'on obtient ainsi l'équation (3) de la corde des contacts. Ainsi la polaire du point p coïncide avec la corde des contacts relative à ce point.

29S. Examinons les positions relatives du pôle et de la polaire. Par le point p menons une sécante mm' (flg. 170) parallèle aux cordes que le diamètre passant par le point p divise en deux parties égales ; le point p étant au milieu de mm', le point conjugué harmonique est à l'infini" sur cette sécante; on en conclut rig* 170# que la polaire P est parallèle à

la corde mm!, c'est-à-dire à la direction conjuguée du diamètre passant par le point p.

Soit o le centre de la courbe et p' le point de la polaire situé sur le diamètre op, c'est-à-dire le point conjugué harmonique du points par rapport aux deux extrémités c et c' du diamètre, on aojo. op'=oc2. Si l'on fait mouvoir le pôle/) sur le diamètre oc, la polaire P se meut parallèlement à elle-même ; quand le pôle va de o en c, la polaire, d'abord située à l'infini, se rapproche de plus en plus de la courbe et devient tangente en c ; si le pôle sort de la courbe et s'éloigne indéfiniment, la polaire coupe la courbe en deux points réels et se rapproche du centre de plus en plus.

Lorsque la courbe est une parabole, le point c' étant situé à l'infini, le point c est le milieu de pp'.

On voit aisément que, réciproquement, toute droite admet un pôle et un seul, excepté dans le cas de la parabole, lorsque la droite est parallèle à l'axe. La courbe étant rapportée à des axes quelconques, pour déterminer les coordonnées xt et yl du pôle p d'une droite donnée ux + vy -f-w;=o, il suffira d'identifier cette équation avec l'équation (9), qui représente la polaire du point p, ce qui donne les deux relations,

(10) hJîlJlL.