U V IV
En appelant ~ la valeur commune de ces rapports et déveà
loppant les calculs on aura
AX^1+BXy1+DX==ti
BXa?1 + CXy1+EX = w
Dtei+EXyi+FX = u>
équations du premier degré en lx{, \yu X. Si la conique n'est pas réduite à deux droites, le déterminant A des coefficients des inconnues n'est pas nul et en employant les formules générales de la résolution des équations du premier degré, l'on à
Mxi = aw -f- hv + dw
AXy j = bu-\-cv-\-ew
AX* = du + et? + fw.
Quand la valeur trouvée pour X n'est pas nulle, ces équations donnent a?, et yx. La valeur de X est nulle quand les coefficients de la droite vérifient la conditions
du -J- ev + tw = o • ■
c'est-à-dire, en supposant f différent de zéro, quand la droite passe par le centre de la conique dont les coordonnées
de
sont -, ^ ; ou en supposant f égal à zéro, cas de la parabole,
quand la droite est parallèle à l'axe de la parabole.
Remarque. Si la courbe du second degré est réduite à deux droites distinctes ayant pour équation
a = to-|-?wy-f-n = o , $ = l'x-\-m'y-\-ri=Q on aura identiquement
f(x,y) = t% fx = /p -J- /'et , fy = m$-{-m'ct ,, fz = n$-\-n'<*; et en faisant
a1 = tet + my1+n , p1=//a?i +m'yt +nf ,
la polaire du point de coordonnées xu y^ aura pour équation
^i/*+yi/i + /*=Pai+a?i = <>> équation d'une droite passant par le point de concours des deux droites a = o, p = o ou parallèle à ces deux droites dans le cas où elles seraient parallèles entre elles. On conclut de cette forme de l'équation de la polaire que :
La polaire d'un point quelconque du plan, autre que le point de concours des deux droites, passe par ce point de concours. La polaire du point de concours est indéterminée. Si le pôle décrit une droite passant par l'intersection des deux droites p — -ma = o, la polaire reste fixe et a pour équation (3-f-wa = o. Inversement une droite ne passant pas par le point de concours a ce point pour pôle. Une droite p-j-ma=o passant par le point d'intersection des deux droites a une infinité de pôles situés sur la droite p — ma=0. (Voyez n° io3.)
296. Théorème II. Les polaires de tous les points (Tune droite passent par le pôle de cette droite, et, réciproquement, les pôles
Fig. 171.
de toutes les droites qui passent par un même point sont situés sur la polaire de ce point.
Sur la droite P, dont le pôle est p, prenons un point quelconque q (fig.
171); la droite^ coupe la conique en deux points m et m'; les deux points p et pétant conjugués harmoniques par rapport aux deux points m et m', la polaire Q du point q passe par le pointp. Réciproquement, soit q le pôle d'une droite quelconque Q passant par le point p; les deux points q et p étant conjugués harmoniques par rapport aux deux points p et m' où la droite pq coupe la conique, le point q appartient à la polaire P du point p.
Droites conjuguées. On dit que deux droites sont conjuguées par rapport à une conique quand le pôle de l'une se trouve sur l'autre. Soient
ux-{-vy + w = o , u'x-\-v'y + w'=o deux droites conjuguées. En écrivant que le pôle (xif yt) de la première est sur la seconde, on a
u'xl-\-vryi-\-w' = o ou, d'après les valeurs précédentes de xu yt
u'(slu + by + dw) + v'(bu -\-cv-\- ew)
+ w'(du -{-ev-{-fw) = o9
auiï + b(W + vu') + cvv' -f d{uw' + wu')
-j- e(w +- wv') 4- tww'= o.
Cette condition peut encore s'écrire si l'on pose
<p (m, v, w) = 2lu2 + ab m? + cv2 + 2duw + sew -J- fw2
U'tfu ~\~ V'y'v -\~ w'y'w = O
297. Théorème III. Étant donnée une section conique, si par un point p on mène deux sécantes quelconques pmm', pnn', qui coupent la courbe en m, m' n, n' (fig. 172) ; les points oV intersection^
LIVPE III, CHAPITRE X.
Fig. 172.
et (/ des droites mm, m'n' ou m'n, mn', appartiennent à la polaire du point p.
Nous remarquons d'abord que le théorème I subsiste, lorsque le lieu du second degré se réduit au système de deux droites ; mais alors la polaire du point p passe par le sommet de l'angle; car, si Ton considère la sécante qui passe par le sommet, les deux points m et m' coïncident avec ce point, de même que le point p' conjugué harmonique du point p.
Gela posé, considérons le système des deux droites mn, m'ri, qui se coupent en q, La droite pmm! coupent la section conique et les deux côtés de l'angle mqm! aux mêmes points m et w!\ le point p', conjugué harmonique du point/?, est le même sur la sécante pmm', lorsqu'on regarde cette sécante comme appartenant à la section conique ou à l'angle. Le point p", conjugué harmonique du point p, sera aussi le même, dans les deux cas, sur la sécante pnri. Les polaires du point p, par rapport à la section conique et à l'angle, ayant deux points communs p' et p", coïncident; mais on sait que la polaire relative à l'angle passe par le sommet q; donc le point g appartient à la polaire du point p par rapport à la courbe. Par la même raison, le point q' appartient à cette même polaire.
Corollaire. La courbe étant tracée, on déduit de ce théorème le moyen de construire la polaire du point p. On mènera par le point p deux sécantes pmm'y pnn', à l'aide desquelles on déterminera deux points q et q' de la polaire.
Si le point p est extérieur, la polaire coupe la courbe en deux points, qui sont les points de contact des tangentes menées du point p.
Remarque. Dans la figure 172 la polaire du point q est la droite pqr et la polaire du point q' la droite pq. Le triangle ayant pour sommets les points pyq>q' possède donc cette pn>
priété remarquable que chacun de ses côtés est la polaire du sommet opposé par rapport à la courbe du second degré. On dit qu'un tel triangle est un triangle autopolaire ou un triangle conjugué, par rapport à la courbe du second degré. Inversement on dit aussi que la courbe est conjuguée au triangle.
