Étant donnée dans un plan une figure composée de

points a, b, c,... et de droites A, B,C,..., si l'on prend les polaires A', B', C, ... des points, et les pôles a', b' c',... des droites, par rapport à une section conique déterminée, on forme une seconde figure composée, comme la première, de droites et de points. En opérant de la même manière sur la seconde figure, c'est-à-dire en prenant les pôles des droites et les polaires des points, on retrouve la première. Ces deux figures ont été nommées pour cette raison figures polaires réciproques (fig. 173).

La droite ab, qui joint deux points a et b de Tune des figures, a pour pôle le point d'intersection des droites A' et B' de l'autre figure ; et réciproquement le point d'intersection de deux droites A' et B' de l'une des figures a pour polaire la droite ab de l'autre figure. Si plusieurs points a, b, c,... sont en ligne droite dans l'une des figures, les droites A', B', C',... de l'autre figure passent par un même point, qui est le pôle de la droite. Réciproquement, si plusieurs droites A, B, C,... passent par un même noint dans l'une des figures, les points a', br, c\.„ de l'autre figure sont en ligne droite.

Étant donnée une courbe plane S, menons une tangente A à cette courbe et prenons le pôle a' de cette tangente (fig. 174)*

GEOM. ANALYT.

Si Ton fait rouler la tangente A sur la courbe S, le pôle a

décrit une autre courbe S'.

Soient A et B deux tangentes à la courbe S, aï et b' leurs 'pôles; le point d'intersection m des deux droites A et B est le pôle de la droite a'b'.

Si la tangente B se rapproche indéfiniment de la tangente A, le point m tend vers t ls' 1/4, le point de contact a de la tan-

gente A; en même temps la sécante a'b' tourne autour du point a' et devient tangente à la courbe S' au point a'. Ainsi, réciproquement, la courbe S est le lieu du pôle a d'une tangente mobile A' à la courbe S'. Les points a et a' se correspondent, de telle sorte que la tangente en l'un de ces points est la polaire de l'autre. Les deux courbes S et S' sont dites pour cette raison polaires réciproques.

Soit (11) F(a?,y)=o

l'équation d'une courbe algébrique S du degré m; la tangente A au point a, dont les coordonnées sont x et y, est représentée par l'équation

(12) xf;+yf;+zf;=o.

Appelons xt etyi les coordonnées du pôle d de la droite A, par rapport à une courbe directrice du second degré f(x, y)=o; l'équation de la polaire du point a' est

(i5) X/Sf+Y/;+Z/:f = o.

Les deux équations (12) et (i3), qui représentent la même droite, doivent être identiques, et l'on a les relations /^1 tvi /«i

fi~ fi— ?r

Si, entre les trois équations (1 1) et (14), on élimine x et yy on obtient l'équation de la courbe S', lieu du point a'.

Cherchons, par exemple, la courbe polaire réciproque de la section conique Ax2 4- By2 — 1 = 0, par rapport au cercle directeur

x y Si Ton remplace x et y par - et - , ces deux équations prennent la

forme homogène Ax2 -f By2

• z2=:o, et les équa-

tions

iA) deviennent ^~ = 4r- '■ ' kx By

;— ; on en déduit, en faisant

-± , y = ^- ; en portant ces valeurs dans l'équation

de la courbe proposée, on obtient l'équation -— + -^-

La

courbe polaire réciproque est une nouvelle section conique.

299. Nous avons appelé degré ou ordre d'une courbe algébrique le degré de Féquation qui la représente en coordonnées rectilignes, ou le nombre des points, réels ou imaginaires, suivant lesquels la courbe est coupée par une droite quelconque. On appelle de même classe de la courbe le nombre des tangentes, réelles ou imaginaires, que Ton peut mener à la courbe par un point quelconque du plan. On sait que Ton peut mener d'un point quelconque deux tangentes à une courbe du second ordre ; les courbes du second ordre appartiennent donc à la seconde classe.

Il est aisé de voir que deux courbes polaires réciproques S et S' (flg. 1^5) sont telles que l'ordre de l'une est égal à la

classe de l'autre.

Une droite quelconque P coupe la courbe S en m points a, b\

c, ; à ces m

points correspondent m droites A', B', C',... tangentes à la courbe S et passant par le point p', pôle de la droite P ; réciproquement, à chaque tangente A' menée du point p' à la courbe S' correspond un point a appartenant à la courbe S et situé sur la droite P. Ainsi, le nombre des tangentes que l'on peut mener du point p' à la courbe S' est égal au nombre des points d'intersection de la courbe S par la droite P, et, par consé-

Fig. 175.

quent, la classe de la courbe S' est égale à Tordre de ]a courbe S. De même, Tordre de la courbe S' est égal à la classe de la courbe S.

Une courbe du second ordre étant de la seconde classe, il en résulte que la courbe polaire réciproque d'une courbe du second ordre est aussi du second ordre.

Il est même facile, dans ce cas, de déterminer Tespèce de la

courbe. Si le centre o de la courbe directrice est situé en dehors de la courbe S, on peut de ce point mener deux tangentes réelles A et B à la courbe S (fig. 176); les pôles de ces tangentes s'éloignant à Tinfini, on en conclut que la Flg> 176, courbe S' a des branches infi-

nies dans deux directions différentes ; c'est donc une hyperbole. Soient a et b les points de contact des tangentes A et B ; les polaires A' et B' de ces deux points sont les tangentes à la courbe S' aux points situés à Tinfini ; ce sont, par conséquent, les asymptotes. Lorsque le centre 0 de la courbe directrice est situé sur la courbe S, les points a et b coïncident avec le point 0, la polaire de ce point, ou l'asymptote, est rejetée à Tinfini, et la courbe S' est une parabole. Enfin, si le centre 0 de la courbe directrice est situé à l'intérieur de la courbe S, la courbe S' est une ellipse.

A deux points quelconques a et b de la conique S et aux tangentes A et B en ces points correspondent deux tangentes A et B' à la conique S' et leurs points de contact a' et b'. Au point d'intersection c des droites A et B correspond la droite a'b', et à la droite ab le point d'intersection c' des droites A' et B'. Ainsi à un point c et à sa polaire ab dans la première figure correspondent dans la seconde figure une droite db' et son pôle c\

300. La méthode des polaires réciproques a une grande importance dans Tétude des sections coniques; elle permet, quand on a trouvé une propriété de ces courbes, d'en déduire

immédiatement une propriété corrélative. Nous avons démontré, par exemple, au n° 275, que par cinq points donnés on peut faire passer une section conique et qu'on n'en peut faire passer qu'une ; on en déduit que Von peut mener une section ■conique tangente à cinq droites données et qu'on n'en peut mener qu'une. Concevons, en effet, que l'on ait tracé dans le plan une section conique quelconque pour servir de courbe directrice, et que, par rapport à cette section conique, on ait marqué les pôles a\ U, c', d', é des cinq droites données A, B, C, D, E ; par les cinq points a', b', c', d', e' on peut faire passer une section conique S'; la courbe polaire réciproque de la courbe S' sera une section conique S tangente aux cinq droites données. Réciproquement, à toute section conique tangente aux cinq droites correspond une section conique passant par les cinq points ; comme on ne peut faire passer qu'une section conique par les cinq points, il n'existe qu'une section conique tangente aux cinq droites.

Considérons les polaires d'un même point p par rapport aux diverses coniques qui passent par quatre points donnés; si f (œ, y) = o, et F (œ, y) =0 sont les équations de deux d'entre elles, l'équation f -f hF = o, dans laquelle h désigne un paramètre arbitraire, représentera l'ensemble de ces coniques. La polaire du point p, dont les coordonnées sont a?! et yu a pour équation

®i {fi + h¥£j + y, [fi + k?i) + *,(« + KF!) = o, ou {œlfi + ylfi + zifz) + k{ociF0! + ylFt + ziF£) = o;

toutes les polaires passent par le point de rencontre p' des deux droites

Xif£ + yifv + *ifi=o, x^i + y^ + z.Fi^o. îl est clair que, réciproquement, les polaires du point p' par rapport aux diverses coniques, passent toutes par le point p.

Si Ton transforme la figure par la méthode des polaires réciproques, on en conclut que le lieu des pôles d'une même droite P par rapport aux diverses coniques tangentes à quatre droites données est une droite. Si la droite P s'éloigne à l'infini dans une direction arbitraire, son pôle par rapport à chacune des coniques est le centre de cette conique; ainsi le lieu des centres des coniques tangentes à quatre droites données est une droite. Chacune des diagonales du quadrilatère formé par les quatre droites pouvant être regardée comme une ellipse ou une hyperbole infiniment aplatie tangente aux quatre droites, les milieux des trois diagonales appartiennent au lieu et déterminent cette droite (n° 75).

301. Théorème IV. Étant données deux coniques dam un plan : i° les points d'intersection des trois couples de sécantes communes déterminent un triangle dont chaque sommet a pour polaire, par rapport à chacune des coniques, le côté opposé; 20 les points d'intersection des quatre tangentes communes aux deux coniques sont situés deux à deux sur les côtés de ce triangle.

Soient a, b, c, d (fig. 177) les quatre points communs aux deux coniques ; les points de concours m, n, p des trois couples.

Fig. 177

de sécantes communes forment un triangle mnp, dont chaque sommet, d'après le théorème III, a pour polaire, par rapport à chacune des deux coniques, le côté opposé. Remarquons que ces trois points sont les seuls qui jouissent de la propriété d'avoir même polaire par rapport aux deux coniques. Soit, en effet, m' un point ayant même polaire par rapport aux deux coniques ; la droite m'a coupe cette polaire en un certain point q, et chacune des coniques en un nouveau point qui est le conjugué harmonique de a par rapport aux deux points m' et q \ ces deux nouveaux points devant coïncider, la droite rria passe par l'un des points communs 6, c, d% par exemple par le point è. Alors la droite rric passera par le point d, et le point m' coïncidera avec le point m,

Imaginons maintenant que Ton transforme la figure précédente par la méthode des polaires réciproques. Aux deux coniques correspondent deux autres coniques ; aux points a, 6, c, d

communs aux deux premières des tangentes A', B', C, D' communes aux deux autres, ce qui montre que deux coniques admettent quatre tangentes communes.

Considérons l'une des tangentes communes aux deux coniques proposées ; soient g et g' les points de contact et e le point où elle rencontre la droite np; les droites mg, mg' coupent les coniques en deux autres points h et K\ le point m, ayant même polaire np par rapport aux deux coniques, les tangentes en h et h' passent par le point e ; la droite np étant aussi la polaire du point m par rapport aux deux angles geh, g'eh', les deux droites eh, eh' coïncident, et la droite ehh' est une seconde tangente commune. Par la même raison, le point de rencontre / de Tune des autres tangentes communes avec la droite np appartient à la quatrième tangente. Ainsi les six points d'intersection des quatre tangentes communes sont situés deux à deux sur les côtés du triangle mnp.

Il résulte en outre de ce qui précède que les cordes de contact passent quatre à quatre par les points m, n, p.

302. Examinons en particulier le cas où la courbe directrice est un

cercle de rayon r; la polaire A' d'un point a est perpendiculaire

r2 à oa et à une distance du centre égale à — . Les droites qui joignent

le centre à deux points a et 6 font entre elles un angle aob égal à celui des polaires A' et B'de ces points (lig. 178).

Par le centre 0 menons des parallèles aux droites A' et B' ; des points a et b abaissons des perpendiculaires sur ces droites ; les triangles rectangles oae, obf sont semblables et donnent la proportion

oa__ ae __ ac -f ce ac + og , ôb~ bf~bd + df~ bd + oh}

on en déduit oa (bd + oh) = ob (ac + og) ;

mais on a oa . oh = ob, og = r2 ; il en ré-

oa ac . . .

suite oa. bd — ob.ac, ou -=•= r-v Ainsi

les distances de deux points au centre sont proportionnelles aux distances d© Fi-. 178^ chacun d'eux à la polaire de l'autre.

Cherchons la courbe polaire réciproque d'un cercle de rayon r' par rapport au cercle o. Soit G' la polaire du centre e du cercle proposé (fig. 179); menons à ce cercle une tangente quelconque A et prenons le pôle a' de cette droite ; d'après la propriété précédente, on a

oa' a'd oa' oc , , , , .

— =—r, ou — 5= -T; le rapport des disoc r a'd r r

tances de chacun des points a' du lieu au point 0 et à la droite fixe G' est constant ; donc ce lieu est une courbe du second de- Fig. 179. gré, dont le point 0 est l'un des foyers et la

droite C la directrice correspondante.

À l'aide de cette transformation, on peut déduire immédiatement des propriétés du cercle la plupart des propriétés focales des courbes du second degré. Ainsi, par exemple, deux tangentes A et B au cercle c font des angles égaux avec la corde des contacts ab ; aux droites A et B correspondent deux points a' et b' de la section conique; aux deux points a et b du cercle des tangentes A' et B' à cette section conique en a' et b'\ à la droite ab ou M le point d'intersection m' des droites A' et B'. Les rayons menés du foyer 0 aux points a', b', m' faisant entre eux des angles égaux à ceux de leurs polaires A, B, M, on en conclut que la droite om' est bissectrice de l'angle a'ob' (n° 255).

Le lieu du sommet m d'un angle constant circonscrit au cercle est un cercle concentrique. Aux deux tangentes A et B menées du point m au cercle c correspondent deux points a' et b' de la conique, et au point m la droite a'b'; l'angle a'ob', étant égal à celui des droites A et B, est aussi constant; le point m décrivant un cercle dont le centre est c, sa polaire a'b' enveloppe une section conique, dont le point 0 est l'un des foyers et la polaire du centre c la directrice correspondante. Ainsi la corde vue du foyer d'une section conique sous un angle constant enveloppe une section conique qui a même foyer et même directrice. La corde ab du cercle enveloppe un cercle concentrique; donc le point de concours des tangentes à la section conique en a' et b' décrit une section conique qui a aussi même foyer et même directrice.

COURBES ENVELOPPES

303, Dans ce qui précède, nous avons été amenés à considérer les courbes tangentes à des séries de droites; lorsqu'un point décrit une courbe, sa polaire reste tangente à une autre

COURBES ENVELOPPES

eourbe. On appelle, en général, enveloppe d'une ligne mobile une courbe à laquelle cette ligne reste constamment tangente ; les diverses positions de la ligne mobile sont les enveCoppées.

Soit (i) f{x,y,a) = o

une équation, renfermant un paramètre variable a. A chaque valeur de a correspond une ligne déterminée. Donnons au paramètre deux valeurs voisines a et a -\- h; la ligne (1) et la ligne

se coupent en un point M'(fig. 180), dont les coordonnées vérifient à la fois les équations (1) et (2). Le système de ces deux équations peut être remplacé par le suivant :

f{x, y, a) = o, AW + ZQ-AW) = 0>

qui, lorsque h tend vers zéro, se réduit à

(3) f(x,y,a) = o , fa{x,y,a) = o.

Ainsi, quand h tend vers zéro, le point M' se déplace sur la ligne (i) et tend vers une position limite M.;

c'est ce point limite qui est représenté par le système (3), Chacune des lignes (1) contient un point limite; on obtient le lieu de ces points, que l'on désigne quelquefois sous le nom de lieu des intersections successives des lignes représentées par l'équation (1), en éliminant a entre les équations (3).

Considérons de nouveau le système des équations (1) et (2), dans lesquelles nous regardons a comme une variable et h comme une constante; ce système représente le lieu des points suivant lesquels chaque ligne (a) est coupée par la ligne (a-f- h). Deux de ces points se trouvent sur la ligne (a), savoir : le point d'intersection M' des lignes (a) et(a-j-A), le point d'intersection M" des lignes (a — h) et (a). Quand h tend vers zéro, les deux points M' et M" tendent vers la même position limite M, et le lieu devient tangent à la ligne (a) au point M. Ainsi le lieu des

Fig. 180.

intersections successives des lignes représentées par l'équation (1) est tangent à chacune de ces lignes.

Remarque. Lorsque /*(#> y, a) est un polynôme par rapport à a, éliminer a entre les équations (3) c'est exprimer que Téquation en a

a une racine double.

Par exemple, si a entre au second degré dans /*(#, y, a) et si Ton a pour l'équation de la courbe mobile une équation de la forme

Ma2 + 2Na + P — o

M, N, P étant des polynômes en x et y, l'équation de l'enveloppe s'obtiendra en exprimant que l'équation en a admet une racine double : elle sera donc

N2 — MP=o.

En suivant cette méthode on verra facilement que l'enveloppe des coniques ayant pour équation

où a, p, y désignent des fonctions linéaires données de x et y, et Xun paramètre variable, se compose de quatre droites. (N° 282 bis.)

304. Supposons maintenant que la ligne mobile soit représentée par une équation

contenant deux paramètres variables a et b, liés par la relation

(5) <p(fl,i) = o.

Si Ton appelle b' la dérivée de b considérée comme une fonction de a donnée par Téquation (5), on a <?„-}- <p* b' = o; d'où

b' = — ^. Mais, si Ton égale à zéro la dérivée par rapport à a

de la fonction f(x, y, a, b), dans laquelle on regarde b comme une fonction de a, on a/a' -f- fi b'=o; on en déduit la relation

COURBES ENVELOPPES

7~fC

et, pour trouver l'équation de l'enveloppe, on éliminera les deux paramètres a et b entre les trois équations (4), (5), (6).

Exemple I. Cherchons l'enveloppe des normales à une parabole. La normale à la parabole y2 — 2px~o, au point M (fîg. 181) dont les coordonnées sont x et //, a pour équations^ (Y— 2/) + 2/(X— #) =o;

y2 si Ton remplace x par la quantité égale — ; cette équation devient

pY + y(X-p)-!L:

elle renferme un paramètre arbitraire y; il faut égaler à zéro la déri- Tée par rapport à y,

et éliminer y entre les équations (7) et (8). En remplaçant y2 dans l'équation (7) par sa valeur tirée de l'équation (8), on a __ 5pY

V~ a(X-p)' portant cette valeur de y dans l'équation (8), on obtient l'équation de l'enveloppe

Cette courbe a la forme indiquée dans la figure ; elle présente un rebroussement en C ; car la tangente en ce point, étant normale à la parabole au sommet A, coïncide avec l'axe AX. Quand le point M décrit la branche AB de la parabole, la normale roule sur la branche CD de l'enveloppe; et de même, quand le point M décrit la branche AB' de la parabole, la normale roule sur la branche CD' de l'enveloppe.

Si l'on veut mener des normales à la parabole par un point donné P, il suffira de regarder X et Y dans l'équation (7) comme les coordonnées du point P et l'ordonnée y du pied M de la normale comme l'inconnue ; on peut mener du Fig. 181, point P trois normales à la parabole, ou

une seule, suivant que cette équation du troisième degré en y admet

trois racines réelles ou une seule. Cette question revient évidemment à mener des tangentes à l'enveloppe parle point P; ainsi l'enveloppe, qui est du troisième degré, est aussi de la troisième classe. Lorsque le point P est situé entre les deux branches de l'enveloppe, on peut mener de ce point trois tangentes à l'enveloppe, et, par conséquent, trois normales à la parabole; mais, lorsque le point est situé en P' à l'extérieur, on ne peut mener qu'une seule tangente à l'enveloppe, et, par conséquent, une seule normale à la parabole.

Exemple II. Cherchons encore l'enveloppe des normales à l'ellipse œ2 , y2

sî + ôï-™;

l'équation de la normale au point (x, y)

renferme deux paramètres variables x et y, liés par la relation

L'équation (6) du n° 3o4 devient

a2 fr2 __, i #

a2X~ b2Y~~b2 — a2' x2 y2 on a obtenu le troisième rapport en ajoutant les numérateurs et les dénominateurs, après avoir multiplié les deux termes du premier par x, les deux termes du second par y, et tenant compte des équations (10) et in) ; on en déduit

portant ces valeurs dans l'équation (n), on obtient l'équation de l'enveloppe

Cette courbe présente quatre points de rebroussement (fig. 182). Quand le pied M de la normale décrit l'arc AB de l'ellipse, la normale roule sur l'arc CD de l'enveloppe. Si l'on veut mener des normales à l'ellipse par an point donné P, ayant pour coordonnées X et Y, les deux équations simultanées (10) et (11) donneront les coordonnées x et y du pied de chacune des normales ; les pieds des normales sont les points d'intersection de l'ellipse proposée (n) et d'une hyperbole (10); il y a quatre solutions. Mais cette question revient à mener les

COURBES ENVELOPPES

tangentes à l'enveloppe par le point P ; on en conclut que l'enveloppe

qui est du sixième degré est de la quatrième classe. Lorsque le point P est situé à l'intérieur de l'enveloppe, on peut mener de ce point quatre tangentes à l'enveloppe, et, par conséquent, quatre normales réelles à l'ellipse ; mais lorsque le point est situé à l'extérieur, par exemple en Pr, on ne peut plus mener que deux tangentes réelles à l'enveloppe, et, par conséquent, deux normales à l'ellipse; on retrouve ainsi les résultats obtenus au n° 290.

L'enveloppe des normales à l'hyperbole a pour équation

303. Lorsqu'un plan mobile se meut dans un plan fixe, il arrive souvent qu'une courbe CD du plan mobile reste tangente à une courbe AB du plan fixe ; cette seconde courbe est Y enveloppe < de la première. Soient CD et CD'' (fig. i83) deux positions voisines de la courbe mobile, M' un point d'intersection de ces deux courbes. Quand la courbe CD' se rapproche indéfiniment de CD, le point M' tend vers une position limite M, qui est un point -^. de l'enveloppe (n° 3o3). Désignons par Mt le point de la courbe CD qui est venu en M', quand cette courbe occupe la position CD'. Nous avons vu (n° 3 1) que l'on peut ame- Fig. 183. ner la courbe mobile de la première

position à la seconde en la faisant tourner autour d'un certain point It; la perpendiculaire PIt, élevée sur le milieu de la corde MjM', passe par le point I4. Mais les deux points Mt et M' ont pour limite commune le point M, et la droite PIt devient la normale commune à la courbe CD et à son enveloppe,

au point M; cette normale passe donc par le point Imposition limite du point I,. On en conclut que les normales [aux diverses courbes situées dans le plan mobile, aux points ou elles touchent leurs enveloppes, pour une position du plan mobile, passent par un même point I. Ce point est celui par lequel passent les normales aux courbes décrites par les points du plan mobile, pour cette même position du plan.

Lorsqu'une courbe du plan mobile est assujettie à rester tangente à une courbe donnée du plan fixe, on peut se servir de la normale commune aux deux courbes pour déterminer le point I. La podaire d'une courbe AB (fig. 3i) par rapport au point 0 (n° 38) n'est autre chose que le lieu décrit par le sommet P d'un angle droit OPM situé dans un plan mobile, qui se meut de manière que l'un de ses côtés PM reste tangent à la courbe AB, tandis que l'autre passe par le point fixe 0, c'està-dire reste tangent à un cercle de rayon nul dont le centre. est 0; on en conclut que le point I se trouve à l'intersection des perpendiculaires menées par les points 0 et M aux deux côtés, ÛP et PM de l'angle droit ; on retrouve ainsi la construction que nous avons donnée au n° 38.

COORDONNEES TANGENTIELLES.

306. On peut regarder une courbe soit comme le lieu d'un point, soit comme l'enveloppe d'une droite mobile. A ce dernier point de vue, nous représenterons la droite par une équation de la forme (i4) ux + vy+ i = o,

et nous dirons, par analogie, que les valeurs des deux paramètres u et v, qui déterminent sa position, sont les coordonnées de la droite.

Si Ton donne une équation

COORDONNEES TANGENTIELLES. 319

entre ces deux paramètres, et que Ton fasse varier l'un d'eux d'une manière continue, l'autre variera aussi en généra] d'une manière continue, et la droite se mouvra dans le plan, enveloppant une courbe. On pent concevoir que l'équation (i5) représente la courbe par la suite de ses tangentes, à l'aide d'un nouveau système de coordonnées u et v, auxquelles il convient de donner le nom de coordonnées tangentielles.

Pour avoir l'équation de cette courbe en coordonnées linéaires, il suffit, d'après ce que nous avons dit au n° 3o4, d'éliminer u et v entre les équations (14), (i5) et

Si l'équation (i5) est algébrique, l'équation en x et y, à

laquelle on arrivera, sera aussi algébrique. Rendons l'équa-

u v tion cp (w, t>) = o homogène en remplaçant u et v par —, — et

chassant les dénominateurs. L'équation cp = o pourra être remplacée par la suivante

dans laquelle on fera, après les dérivations, w = 1 . Donc en appelant X la valeur commune des rapports (16), il faudra éliminer w, v, X entre les quatre équations

ff=X<P. , !/ = *<?'.

ux -|- vy -f- 1 = o

u <pL + V Cp'v -f- <?'w = 0.

Multiplions la première de ces équations par u, la deuxième par v et ajoutons-les en tenant compte des deux dernières équations; nous aurons l'équation

qui pourra remplacer l'une des deux dernières équations, par exemple la dernière. On aura donc à éliminer w, v> X entre les équations (17) X — ly'u , y = X cp/ , 1 =X cp'^

ux-\-vy -\- 1=0.

Le degré de l'équation (153, mise sous forme entière, indique

la classe de la courbe. Eq effet, si x0 eiy0 sont les coordonnées d'un point quelconque du plan, chaque système d# valeurs de u et v, vérifiant les deux équations

tta?o + vy0+i=o , y(u,v) = o,

donnera une tangente, réelle ou imaginaire, passant par le point considéré. Lorsque l'équation (i5) est du second degré,, la courbe, étant de la seconde classe, est aussi du second ordre. (N° 309.) Une équation du premier degré

Aw + Bi; + C = of

en coordonnées tangentielles, représente un point, le point

qui admet les coordonnées linéaires xQ =-^t y<> = pr; car

cette équation, mise sous la forme

indique que la droite mobile passe constamment par le point fixe (#oî ?/o) î l'enveloppe se réduit donc à un point.

Les propriétés de l'équation du premier degré en coordonnées linéaires, que nous avons étudiées dans le livre II, se reproduisent ici, avec cette modification que les points sont remplacés par des droites et les droites par des points. Ainsi l'équation

dans laquelle le paramètre a est arbitraire (n° 64), est l'équation générale des points situés sur la droite (w',t/). L'équation (n° 66)

représente le point d'intersection des deux droites (iï, v'}>