KO

Considérons deux tangentes voisines de la courbe (i5), et supposons que la seconde se rapproche de plus en plus de la première; leur point d'intersection, représenté par l'équation (18), aura pour limite le point de contact de la première

COORDONNÉES TANGENTIELLES, Mi

tangente; le point de contact est donc représenté par l'équation (n° 89)

(19) (u — u')ti,-{-(v — v')<ç\, — o.

En remplaçant u et v par — et -, afin de rendre l'équation

homogène (n° 291), on réduit cette équation et on la met sous la forme

(20) Uy'u,-fv<ç'v,-\-Wy'w'=0.

307. Il est bon de remarquer que la recherche de l'enveloppe d'une droite mobile peut être ramenée à la théorie des polaires réciproques. Car cette courbe enveloppe S est la courbe polaire réciproque de la courbe S' décrite par le pôle de la droite, relativement à une conique donnée. Si l'on prend comme courbe directrice le cercle imaginaire x*-\-y% -|- 1 = 0, et si l'on fait xt = u, yY = v, la droite xxi -\-yyi -[-1=0, polaire du point (x^ yt), coïncide avec la droite mobile (14); ainsi la courbe S' a pour équation 9 {xiy yi) = 0 en coordonnées linéaires :

Exemple I. Trouver l'enveloppe d'une droite telle que les produits de ses distances à deux points fixes F et F' soient égaux à une quantité donnée. En prenant pour axe des x la droite FF' et pour axe des y une perpendiculaire sur le milieu de cette droite, appelant 2c la distance FF', 62 le produit constant, et représentant la droite mobile par une équation de la forme ux + vy + 1 = o, on a, entre les deux paramètres variables u et v, la relation

il faut prendre le signe + ou le signe —, suivant que la droite laisse les deux points d'un même côté ou passe entre les deux. La courbe S' ayant pour équation

(c* + b2)%\ ±bhj] — 1 = 2.

l'équation de la courbe cherchée S, ou de la polaire réciproque (n° 298), est

(C2z±zb2) ' ±b2

C'est une ellipse ou une hyperbole dont les points F et F' sont les

GÉOM, ANALYT. 21

foyers. Qjtte propriété est la réciproque du théorème démontré au n° 25$* Exemple II. Étant donné un quadrilatère abcd, trouver l'enveloppe d'une droite telle que le produit de ses distances à deux sommets opposés soit au produit de ses distances aux deux autres sommets dans un rapport constant. Appelons #t et yl9 x2 ety2>'#s ety8, xtQtyk les coordonnées des quatre sommets, et représentons la droite mobile par l'équation ux -f- vy -f i = o ; on aura entre les deux paramètres u et v la relation

(uxi + vyt + i) (uxz + vys -f- i)—k* (ux2 -f- vy2 + i) (w#4 + vyA -f i) = o ;

cette relation étant du second degré, on en conclut que l'enveloppe est une courbe de la seconde classe ou du second ordre. L'équation pré» cédente est vérifiée quand la droite mobile coïncide avec l'un des côtés du quadrilatère, puisque dans chaque terme un facteur s'annule. Ainsi la courbe est inscrite dans le quadrilatère et on peut donner au rapport k une valeur telle que la courbe soit tangente à une cinquième droite quelconque. Il en résulte cette propriété générale des sections coniques : un quadrilatère étant circonscrit à une section conique, le produit des distances à* une tangente quelconque a deux sommets opposés du quadrilatère est au produit des distances de cette même tangente aux deux autres sommets dans un rapport constant.

308. Équation tangentielle d'une conique. Soit une conique ayant pour équation. '

(21) Ax* + 2Bxy-\-Cy2-\-2Vx + 2Ey-i-F = o

l'équation tangentielle de cette courbe est la condition nécessaire et suffisante pour que la droite ux-\-vyJri = olm soit tangente, c'est-à-dire (n° 126) :

(22) aw2 + abiw -f- Ov2 -f- 2&m 4" 2eu + f = ° équation dont le terme constant f est nul quand la conique est une parabole.

Lorsque la conique donnée (21) est formée de deux droites non confondues, on prévoit que la condition (22) doit exprimer que la droite ux-\-vy-\- 1 = 0 passe par le point de concours des deux droites. Effectivement, si l'on appelle a et b les coordonnées de ce point de concours, lé premier membre de l'équation tangentielle (22) est un carré parfait, le carré de au-\-bv-\~ 1.

Pour le démontrer, il suffit de s'appuyer sur ce théorème que les coordonnées a et b vérifient les relations (chapitre XII),

COORDONNÉES TANGENTIELLES. 323

a2 ab b2 a b x

L'équation (22) devient alors en remplaçant les coefficients a, b, ... parles valeurs proportionnelles a2, ab, ...

(au-\-bv-{-i)2;

ce qu'il fallait démontrer.

Dans le cas particulier où l'équation (21) représenterait deux droites parallèles on aurait

et b2 — ac = — FA = o;

l'équation (22) deviendrait alors

aw2 + %buv + cv2 = o

ou Çbu-{-cvy = o

<c'est-à-dire encore un carré parfait. Il est facile de vérifier que la condition

bw + C5W — o

•exprime que la droite ux-{-vy-\- 1 =0 est parallèle aux deux droites représentées par l'équation (21) : on peut dire encore que cette condition exprime que la droite ux-{-vy-{-i=o passe par le point de concours des deux droites représentées par l'équation (21).

Lorsque l'équation (21) représente deux droites confondues, le premier membre de l'équation tangentielle (22) est identiquement nul : on a en effet dans ce cas

309. Nous venons de voir que l'équation tangentielle d'une conique est du second degré en u et v. Réciproquement une équation du second degré entre u et v

(23) 9 (u, v) ~ Au2 + zBuv + Cv2 + 2Dw -f 2EV -f F = o

dans laquelle le discriminant A==ACF — ... est différent de zéro est l'équation tangentielle d'une conique. En effet pour trouver l'enveloppe de la droite

ux -f- vy -|- 1 = 0

dont les coefficients vérifient l'équation <p (u, v) = o , il suffit d'éliminer w, v et X entre les équations (17)

*=X(At* + Bt; + P)

y = \(Bu + Cv + E)

i=\çùu-\-Ev + F)

o = \ (ux -\-vy -J- 1) où l'on a multiplié la dernière des équations (17) par X. Le résultat de l'élimination de Xw, \v et X entre ces équations du premier degré est la condition

ou (24) a#2 + zbxy + c2/2 + 2&x + 2e^ + £=0* équation d'une conique. On voit que l'on passe de l'équation (23) à (24) de la même façon que de l'équation (21) à l'équation (22). On vérifiera facilement que l'équation tangentielle de la conique (24) est identique à l'équation (23).

Nous avons supposé que le discriminant A de l'équation (23) est différent de zéro. Si ce discriminant est nul sans que tous ses mineurs a, b.. le soient, la fonction 9 (m, v) se décomposera en un produit de deux facteurs du premier degré en m, v. Dans ce cas l'équation cp (w, v) = o représentera deux points qui pourront d'ailleurs être réels ou imaginaires et le premier membre de l'équation (24) sera un carré parfait, le carré du premier membre de l'équation de la droite joignant les deux points. C'est ce qu'on démontrera par un calcul identique à celui du numéro précédent.

Enfin si le discriminant A est nul ainsi que tous ses mineurs, l'équation (23) a pour premier membre un carré parfait : elle représente deux points confondus. L'équation (24) est nulle identiquement.