THÉORÈMES DE PASCAL ET DE BRIANCHON

310. Théorème I. Lorsque trois sections coniques ont deux points communs, les trois droites -qui joignent les autres points d'intersection des courbes deux à deux passent par un même point.

Soit S=:o l'équation de l'une des sections coniques, <x=o l'équation de la droite qui passe par les deux points communs, les équations des deux autres sections coniques seront delà forme S — &ap = o, S — k'^ = o. Les trois droites, qui passent par les deux autres points d'intersection des courbes considérées deux à deux, sont p = o, y = o, k$ — k'yz=zo; la troisième passe par le point d'intersection des deux premières.

311. Théorème II. Un hexagone étant inscrit dans une section conique, les points de rencontre des côtés opposés sont en ligne droite.

Ce théorème que l'on doit à Pascal, est une conséquence du théorème précédent. Soit abcdef(ûg. 184) un hexagone inscrit dans une section conique; la courbe et les deux couples de droites ab et cd, af et de, peuvent être regardées comme trois sections coniques ayant deux points communs a et d. La droite bc joint les deux autres points d'intersection b et c de la courbe et des deux droites ab et cd; la droite e/* joint les denx autres points d'intersection e et f de la courbe et des deux droites af et de; d'ailleurs les deux couples de droites se coupent en m etp; les trois droites bc, ef, mp passent par un même point n; donc les trois points

Fig. 484.

Fig, 185.

d'intersection m, n, p des côtés opposés de l'hexagone inscrit sont en ligne droite.

Ce théorème ne s'applique pas seulement à un hexagone convexe, mais encore à un hexagone fermé quelconque. On forme un hexagone inscrit en traçant v

six cordes consécutives, dans un sens ou dans l'autre, de manière à revenir finalement au point de départ. Si l'on numérote les côtés dans Tordre suivant lequel on les a obtenus, les trois points d'intersection des côtés (1,4), (2, 5), (3,6) sont en ligne droite (fig. i85).

Corollaire I. Lorsqu'on définit une section conique par cinq points a, b, ç, d, e, le théorème précédent permet de construire autant de points de la courbe que Ton veut. Par le point a traçons une droite quelconque af et cherchons le point f où cette droite coupe la courbe (fig. 184); on marquera le point d'intersection m des droites ab et de, le point d'intersection p des droites cd et af; la droite bc ira rencontrer la droite mp en un point n; le point f, où la droite ne rencontre af, appartient à la courbe.

On peut aussi construire la tangente en l'un des points.

Quand deux sommets de l'hexagone inscrit, par exemple a et f, se confondent, le côté intermédiaire af devient la tangente à la courbe au point a; si l'on applique le théorème de l'hexagone inscrit, en comptant cette tangente comme un côté , on a encore trois points en ligne droite. On marquera donc le point d'intersection m des côtés ab et de (fig. 186), le point d'intersection n des côtés bc et ae; la droite cd rencontrera la droite mn en un points; la droite ap sera la tangente en a.

Corollaire II. lin quadrilatère abcd étant inscrit dans une

Fig. 486

PROPRIETES GENERALES DES SECTIONS CONIQUES. 3i7

section conique, les points de rencontre des côtés opposés, et les points de rencontre des tangentes aux sommets opposés, sont en ligne droite. Si, avec les tangentes en a et c, on complète l'hexagone inscrit, on aura trois points m, n, p en ligne droite (fig.

487). En complétant l'hexagone avec les tangentes en b et d, on aura de même trois points m, n, q en ligne droite.

Donc les quatre points m, n, p, q sont en ligne droite.

Corollaire III. Un triangle étant inscrit dans une section conique, les points d'intersection des côtés et des tangentes aux sommets opposés sont en ligne droite.

312. Remarque. Nous avons vu que par cinq points a, b, c, d, e tels que trois d'entre eux ne soient pas en ligne droite, passe une section conique et une seule. On peut obtenir les éléments de cette courbe de la manière suivante ; on commence par déterminer les tangentes A, B, C, en trois des points donnés a, b, c. Dans toute courbe du second degré les tangentes aux extrémités d'une corde se coupent sur le diamètre conjugué à cette corde; par conséquent, la ligne qui joint le point de rencontre p des droites A et B au point milieu g de la droite ab est le diamètre des cordes parallèles à ab; de même la ligne qui joint le point de rencontre q des droites B et C au milieu h de bc est le diamètre des cordes parallèles à bc. Supposons d'abord que les deux diamètres pg, qh se coupent en un point o; dans ce cas, la courbe est une courbe à centre, et le centre est le point o. La droite op et la droite ok parallèle à ab forment un système de diamètres conjugués. Si l'on appelle a' la longueur du demi-diamètre dirigé suivant opf on a «'= \/op. og; on obtient de même la longueur ¥ du demi-diamètre dirigé suivant ok. Nous avons expliqué

(n0* 174 et 195) comment on détermine les axes, quand on connaît un système de diamètres conjugués 0! et b'.

Si les deux diamètres sont parallèles, la courbe est une parabole. Dans ce cas, on mène les diamètres qui passent en a et b, puis des droites faisant avec les tangentes des angles égaux à ceux des diamètres avec les tangentes; ces deux droites se coupent au foyer de la parabole. En abaissant du foyer des perpendiculaires sur les tangentes A et B, et prolongeant chacune des perpendiculaires d'une longueur égale à elle-même, on a deux points de la directrice.

Lorsqu'on donne trois points et les tangentes en deux de ces points, on détermine la tangente au troisième point à l'aide de la propriété du triangle inscrit, puis on opère comme précédemment. La construction relative à la parabole peut évidemment être employée quand on connaît deux tangentes à la courbe et les points de contact.

313. Supposons enfin que l'on veuille trouver les éléments d'une parabole déterminée par quatre points a, b, c, d. Si l'on prend pour axes des coordonnées les deux droites ab9 cd, les équations des paraboles passant par les points donnés sont (n° 276)

ab \Jabcd cd Les coefficients angulaires des axes des paraboles étant

£- , on en conclut que ces axes sont parallèles aux diaab

gonales d'un parallélogramme formé sur les axes des coordonnées et dont les côtés auraient pour longueursles moyennes proportionnelles entre a et b, c et d. Connaissant la direction de l'axe, le théorème sur le pentagone inscrit donnera, en supposant que le point e s'éloigne indéfiniment, c'est-à-dire que les droites ae et de, par exemple, deviennent parallèles à l'axe (fig. 186). la tangente en l'un des points. Lorsqu'on aura déterminé deux tangentes, on sera ramené au cas précédent.