Théorème V. Un hexagone étant circonscrit à une section

conique ■, /es Jrois droites £t« joignent les sommets opposés passent par un même point.

Ce théorème, trouvé par Brianchon, se déduit du précédent par la méthode des po- • laires réciproques. Soit abcdef (fig. 188) un hexagone circonscrit à une section conique; l'hexagone inscrit, qui a pour sommets les points de contact, est la figure corrélative de l'hexagone circonscrit, par rapport à la section conique proposée; car les sommets a, à, c,... de l'hexagone circonscrit sont les pôles des côtés A', B', C',... de l'hexagone inscrit. La diagonale ad de l'hexagone circonscrit est la polaire du point d'intersection mj m' des côtés opposés A! et D' / de l'hexagone inscrit; de même la diagonale be est la polaire du point d'intersection n' des côtés B' et E' et la diagonale c/'la polaire du point d'intersection p' des côtés G' et F'. Puisque les trois points m'> n\ p' sont en ligne droite, les trois droites ad, ôe, cf passent par un même point 0, pôle de cetteMroite.

Nous ferons ici une remarque analogue à celle qui a été faite à propos du théorème de Pascal. Il n'est pas nécessaire que l'hexagone circonscrit soit convexe, il suffit qu'il soit fermé. Supposons qu'on ait tracé six tangentes à une section conique; pour former l'hexagone, partant du point d'intersection de deux tangentes, on s'avancera sur l'une d'elles jusqu'à la rencontre d'une autre tangente; puis sur cette seconde tangente, dans un sens ou dans l'autre, jusqu'à la rencontre d'une troisième tangente, et ainsi de suite, de manière à revenir au point de départ, après avoir marché sur toutes les tangentes sans discontinuité. La ligne brisée

Fis. 183.

ainsi formée est un hexagone circonscrit. Si Ton numérote les sommets dans l'ordre suivant lequel on les a obtenus, les trois diagonales qui joignent les sommets (i, 4), (2, 5), (3, 6) passent par un même point (flg. 189).

Fig. 1S9.

Corollaire. Quand on définit une section conique par cinq tangentes, on peut, à l'aide du théorème précédent, construire autant de tangentes que Ton veut. Soient les cinq tangentes ab, bc1 cd, de, ef (fig. 188); cherchons la seconde tangente qui passe par un point a pris arbitrairement sur Tune des tangentes données; on prendra le point d'intersection 0 des diagonales ad et be; on mènera la droite co et on joindra le point a au point /où la droite co rencontre la tangente ef.

On peut aussi déterminer le point de contact de chacune des tangentes. Quand deux côtés de l'hexagone circonscrit, par exemple les côtés ah et bc, coïncident, le sommet intermédiaire b devient le point de contact; pour trouver ce point de contact, on joindra le sommet e au point d'intersection 0 des diagonales ad et cf (ûg. 190).

Lorsqu'on a déterminé les points de contact de trois tangentes, on obtient les éléments de la courbe par le procédé que nous avons indiqué au n° 3i2.

On pourrait aussi obtenir immédiatement le centre à l'aide d'un théorème démontré au n° 3oo.

Fis. 190.

Du théorème de Bbianchon, on déduit les corollaires suivants : Un quadrilatère étant circonscrit à une section conique, les deux diagonales et les deux droites qui joignent les pointe de contact des côtés opposés passent par un même point.

Un triangle étant circonscrit à une section conique, les droites qui joignent les sommets aux points de contact des côtés opposés passent par un même point. Il suffit de compléter l'hexagone circonscrit, dans le premier cas avec les points de contact de deux côtés opposés, dans le second cas avec les trois points de contact.

SYSTÈMES HOMOGRAPHIQUES.

318. Lorsqu'on a sur deux droites données deux systèmes de points qui se correspondent chacun à chacun, de telle sorte que, si l'on désigne par x et a?' les distances (affectées de signes convenables) de deux points correspondants à deux points fixes pris sur les droites, on ait la relation (i) kxx' + Bx -f Gr'+ D = o;

on dit que ces deux systèmes de points sont homographiques.

Cette équation renfermant trois paramètres arbitraires, on peut à trois points pris à volonté sur la première droite faire correspondre trois points pris à volonté sur la seconde, et le mode de division homographique se trouve ainsi déterminé.

Lorsque le point m' de la seconde droite s'éloigne à l'infini, le point

homologue m de la première tend vers une position limite i donnée

par la formule x = — — . De même, lorsque le point m de la première

droite s'éloigne à l'infini, le point ni' de la seconde tend vers la posi-

tion j' donnée par la formule x' = — — . Si l'on compte les distances

sur ces deux droites, à partir des points f et i, la relation se simplifie

et devient

.(*) Axx, + B = o.

Un faisceau de droites passant par un même point o ffig. 191) détermine sur deux sécantes quelconques deux systèmes de points homographiques; car, en appelant a?f et yt les coordonnées du point 0 par rapport aux deux sécantes, a et p l'abscisse et l'or- Fig. i r j . donnée des points m et m' où Tune

des droites du faisceau rencontre les deux sécantes, on a entre les variables a et p la relation

Réciproquement, lorsqu'on a sur deux droites deux systèmes de points homo graphiques, on peut placer les droites de manière que l'un des systèmes soit la perspective de l'autre ; il suffit de déplacer l'une des droites de manière à faire coïncider deux points homologues a et a!\ les droites 66', ce', qui joignent deux couples de points homologues, se coupent en un point o; la droite om qui joint le point o à un point quelconque m de la première droite passera par le point homologue m' de la seconde. Des parallèles oi et of aux deux droites donneront les points i et /.

Deux systèmes de points homographiques à un troisième sont homographiques entre eux ; car l'élimination de x entre les deux équations

(A^ + B)a-KCa/ + D) = (>, (Aixi + Bi)x + (Ciœi + Bi) = of donne une équation de même- forme entre x' et œx.

316. Considérons les deux faisceaux de droites que l'on obtient en joignant deux points fixes o et o' à deux systèmes de points homographiques; ces deux faisceaux déterminent sur des sécantes quelconques des systèmes de points homographiques ; on dit, d'après cela, que les deux faisceaux de droites sont homographiques.

Concevons que, par un point fixe situé sur l'axe des x, et ayant pour abscisse — i, on mène des parallèles aux droites des deux faisceaux; ces parallèles détermineront sur l'axe des y deux systèmes de points homographiques; l'ordonnée de chacun de ces points étant égale au coefficient angulaire de la droite correspondante, on en conclut que les coefficients angulaires m et m' des droites homologues sont liés par la relation

(3) kmm! + Bm + Cm' + D = o.

Réciproquement, lorsque dans deux faisceaux les coefficients angulaires de deux droites homologues satisfont à une relation de cette forme, les deux faisceaux sont homographiques. Tels sont, par exemple, les deux faisceaux que l'on obtient en menant par deux points fixes o et o' des parallèles à deux diamètres conjugués d'une conique.

Deux faisceaux homographiques à un troisième sont homographiques entre eux.

Deux systèmes de points homographiques se transforment dans la figure polaire réciproque en deus faisceaux de droites homographi-

nues. Soient P et Q les deux droites données, p' et q' leurs pôles par rapport k une courbe du second degré dont le centre est o ; à un point a de la première droite correspond une droite A' passant par son pôle p'; à un point b de la seconde droite une droite B' passant par son pôle q'. Les droites oa, ob forment deux faisceaux homographiques ; le faisceau des droites A' étant homographique de celui des droites oa, et le faisceau des droites B' de celui des droites oby on en conclut que les deux faisceaux A' et B' sont homographiques.

Remarque. Dans les deux relations (i) et (3) nous avons supposé que les coefficients A, B, C, D ne vérifient pas la condition

AD — CB = o.

Si cette condition était remplie, le premier membre de la relation (i), par exemple, se décomposerait en deux facteurs linéaires, l'un en x l'autre en x', et cette relation (i) prendrait la forme

A une valeur attribuée à x' répondrait toujours la valeur x = a, et, pour x' = a', x serait indéterminé.

317. Lorsqu'on a sur une même droite deux systèmes de points homographiques, il existe sur la droite deux points doubles, c'est-àdire deux points tels que chacun d'eux, considéré comme appartenant à l'un des systèmes, coïncide avec son homologue dans l'autre système. En effet, si l'on compte les distances sur la droite, à partir d'un même point, et qu'on fasse x' = x, on a, en vertu de la relation (i), une équation du second degré 4) Aa2 + lB + C)tf + D = o,

dont chaque racine donne un point double. Les deux poin*ts doubles sont réels ou imaginaires.

Supposons que l'on ait construit, comme nous l'avons expliqué, les deux points i et / homologues de l'infini; si l'on compte les distances à partir du point c, milieu de if, l'équation (i) devient

(5) kxx' + B {x -x') + D = o.

L'équation (4), qui donne les points doubles, se réduit à

(6) Ax2 + D = o.

Appelons c' le point du second système homologue du point c du premier, l'équation (5) devant être vérifiée pour #== o et x = cc'f on a

cc=p

d'ailleurs

su

-r-ae— C/XCC*,

on en déduit

et l'équation (6) devient

(7) x2 = cf x ce'.

Les points doubles sont réels, quand les deux longueurs cf et ce'

,* -^ sont portées dans le môme sens ; pour

les construire, on décrira un cercle sur c'f comme diamètre (fig. 192); on -mènera du point c une tangente à ce cercle; rabattant la tangente sur la Fig. 192. droite, on obtiendra les deux points

doubles e et f, qui sont situés à égale distance de part et d'autre du point c.

318. Deux faisceaux homographiques ayant même sommet admettent de même deux droites doubles, réelles ou imaginaires ; on obtiendra leurs équations en joignant le sommet aux deux points doubles de la division homographique déterminée par le faisceau sur une sécante quelconque.

Lorsqu'on fait tourner un angle constant autour de son sommet, les deux côtés forment deux faisceaux homograpbiques autour du a, 0 4 même point, les diverses positions de

l'un des côtés constituant le premier faisceau, celles de l'autre côté le second faisceau. Car, si l'on fait tourner le premier faisceau de l'angle constant Fig. 193. autour du sommet, il coïncide avec le

second. La relation entre les coefficients angulaires des droites homologues en coordonnées rectangulaires est mm' + i + c(m — m;) = o; les droites doubles sont imaginaires et ont pour équation x2 +y2 = o ; ce sont les asymptotes du cercle x2 + y2 = r2.

Ces deux ' faisceaux déterminent sur une droite quelconque deux systèmes de points homographiques, dont les points doubles sont imaginaires. Réciproquement, lorsque les points doubles de deux systèmes de points homographiques sur une même droite sont imaginaires, on peut obtenir ces deux systèmes de points par la rotation d'un angle constant autour de son sommet. Le mode de division est défini par les trois couples de points (c, e'), [i, 00), (00 ,/), le point c étant le milieu de if ; la perpendiculaire co à la droite rencontre le cercle décrit sur c'f comme diamètre en un point 0; l'angle c'oc, en tournant autour du point 0, donnera la division homographique proposée.

319. Involution, Considérons deux systèmes de points homographiques sur une même droite et supposons que deux points homolo-

gués a et a' soient réciproques, c'est-à-dire que, si au point a du premier système correspond le point a' dans le second, réciproquement au point a' considéré comme appartenant au premier système correspond le point a dans le second. Il faudra que l'équation (i) reste vérifiée quand on permute les valeurs particulières de x et de x' qui se rapportent à ces deux points, ce qui exige que Ton ait B = C ; mais alors tous les points homologues sont réciproques deux à deux, et l'on dit que les points sont en involution.

L'équation {7) kxxf -f B (x + x') + D =0

ne contenant que deux paramètres arbitraires, il suffit de deux couples de points conjugués fa, a'), (&,&'), pour définir l'involution. Les deux points i et / coïncident, et si l'on compte les distances â partir de ce point i, l'équation (7) se réduit à

on appelle ce point le centre de l'involution. Il y a deux points doubles e et f9 réels ou imaginaires, donnés par l'équation

Aa;2 + D = o.

L'équation (8) devient ainsi xx'=zlè2; on en conclut que les deux points doubles e et f sont conjugués harmoniques par rapport à deux points conjugués quelconques.

Les cercles menés par deux points fixes p et g déterminent sur une

droite une involution (fig. 194). Soit i le point où la droite pq rencontre la droite donnée; si l'on appelle x et x' les distances de ce point aux deux points "d'intersection de la sécante et de l'une des circonférences, on a.xx'=ip.iq; le Fig. 194. point i est donc le centre de l'involution.

Les points doubles sont réels ou imaginaires , suivant que le point i est situé en dehors des points p et g, ou entre ces deux points. Dans le premier cas, on obtient les points doubles en menant du point i une tangente à l'un des cercles et rabattant cette tangente.

Lorsqu'on définit l'involution sur une droite par deux couples de points conjugués (a, a'), (&,&'), on peut aisément construire deux points conjugués quelconques ; par les deux points a et a' menons un cercle, par les deux points b et U et un point arbitraire p du premier menons un second cercle; ces deux cercles se coupent en un second point g; le cercle qui passe par les deux points p et g et un point m de la droite déterminera le point conjugue m'.

Considérons de même deux faisceaux komographiques ayant même sommet et tels que deux droites homologues soient réciproques ; ces droites déterminent sur une sécante quelconque des points en involution ; toutes les droites homologues sont donc réciproques deux à deux et Ton dit que les droites sont en involution. Il y a deux droites doubles réelles ou imaginaires; mais il n'existe rien d'analogue au centre d'mvolution.

Nous avons dit (n° 3i8) que, lorsqu'un angle constant tourne autour de son sommet, les deux côtés forment deux faisceaux homographiques, Quand l'angle est droit, il y a réciprocité, et par conséquent involution; les droites doubles, comme nous l'avons remarqué, sont les asymptotes d'un cercle.

Réciproquement, lorsque sur une droite les points doubles d'une involution sont imaginaires, on peut obtenir les couples de points conjugués par la rotation d'un angle droit autour de son sommet. L'involution est définie par les deux couples de points conjugués (i, oo), (a, a') ; sur ad comme diamètre décrivons un Fig. 195. cercle (fig. 195) ; au point i élevons

sur la droite une perpendiculaire qui coupera le cercle en deux points p et q ; un cercle passant par les deux points p et q déterminera deux points conjugués m et m', et l'angle mpm' est droit.

Les diamètres conjugués d'une conique sont en involution. Les droites doubles sont réelles dans le cas de l'hyperbole, imaginaires dans le cas de l'ellipse.

320. Théorème I. Étant donnés deux faisceaux homographiques , le lieu du 'point d'intersection de deux droites homologues est une conique passant par les sommets des deux faisceaux.

Cherchons combien de points du lieu sont situés sur une droite quelconque D ; les deux faisceaux homographiques 0 et 0' (fig. 196) déterminent sur cette droite deux systèmes de points

homographiques (a,a'),(p,p')> (y, y')» *

„i> deux droites homologues oe, o'e, qui se coupent sur la droite D, donnent un point double e ; comme il n'existe sur la droite D que deux points doubles e et f, on en conclut que cette droite ne rencontre le lieu qu'en deux points, réels ou imaginaires ; ainsi le lieu est du second ordre.

A la droite o'o du second faisceau correspond une certaine droite ép du premier; le point d'intersection vient en 0, et la droite op est tangente en ce point. De même, la courbe passe par le point 0' et

elle est tangente en ce point à la droite o'qr du second faisceau homologue de la droite oo' du premier.

Corollaire. Ceci nous permet de trouver les points où une droite donnée D coupe une conique définie par cinq points o, o' ', a, 6, c ; si l'on joint deux des points o et o' aux trois autres, on a trois couples de droites (oa, o'd), (ob, o'&), (oc, o'e), déterminant deux faisceaux homographiques o et o' ; le lieu du point d'intersection des droites homologues est la conique passant par les cinq points donnés; les trois couples de points (a, a), (p,p')> (y, y') définissent la division homographique sur la droite D; on trouvera les deux points doubles e et /"par le procédé indiqué au n° 3i7.

Si la droite passe par l'un des points donnés, o par exemple, il suffit de construire la droite homologue dans le second faisceau. De même, comme nous l'avons dit déjà, on obtiendra la tangente en o, en menant la droite op du premier faisceau homologue de la droite o'o du second. On déterminera ainsi autant de points et autant de tangentes que l'on voudra de la conique cherchée.

Remarque. Lorsque la droite oor qui passe par les sommets se correspond à elle-même dans les deux faisceaux, elle fait évidemment partie du lieu qui alors se compose de deux droites ; dans ce cas, le lieu du point d'intersection des droites homologues est, à proprement parler, une ligne droite.

321 Théorème II. Étant donnés deux systèmes de points homograk\ phiques sur deux droites

w/ fixes A et A!, la droite aa',

qui joint deux points homologues quelconques, enveloppe une conique tangente aux deux droites fixes.

Cherchons combien de tangentes à l'enveloppe -j- passent par un point arbitraire p du plan (fig. 197); les droites pa, pa' , qui joignent le Fig> 197# *' point p à deux points

homologues, forment autour du point p d'eux faisceaux hemographiques : lorsque la droite mobile aa'r dans une de ses positions mm\ passe par le point p, elle devient une droite double des deux faisceaux ; comme il n'existe que deux droites doubles pm, pn, on en conclut que par le point p on ne peut mener que deux tangentes, réelles ou imaginaires, à la courbe enveloppe; cette courbe est donc de la seconde classe, et par conséquent du second ordre,

GÉOM. ANALYT. 22

Au pomt d'intersection o des deux droites fixes A et Ar considéré comme appartenant à la seconde droite, correspond sur la première un point h , \& droite mobile vient en oh et la courbe est tangente à la droite A a*» point h. De même, la courbe est tangente à la droite A' au point g' de cette droite homologue du point o de la droite A.

Corollaire. Ceci nous permet de mener par un point donné p des tangentes à la conique définie par cinq tangentes; si l'on joint au point p les points où deux des tangentes A et A' sont coupées par les trois autres B, C, D, on a trois couples de droites déterminant deux faisceaux homographiques, dont les droites doubles sont les tangentes demandées.

Si le point p est situé sur l'une des tangentes données, A par exemple, les points où les tangentes A et A' sont coupées par les trois autres B, C, D, définissent sur ces deux premières tangentes deux systèmes de points homographiques ; on cherchera sur la droite A' le point pf homologue du point p sur A ; la droite pp' sera tangente à la conique.

Le point de contact de la tangente A est, comme nous l'avons dit, le point de cette droite homologue du point o de A'.

Remarque. Lorsque le point d'intersection o des deux droites fixes se correspond à lui-même sur les deux droites, dans la figure polaire réciproque la droite des sommets se correspondra à elle-même dans les deux faisceaux; le lieu se réduisant dans ce cas à une droite, l'enveloppe se réduit à un point : donc toutes les droites, telles que aa\ passent par un même point.

322. Les deux théorèmes précédents donnent naissance à un grand nombre de propriétés remarquables. Nous en indiquerons quelques-unes. Par exemple, si deux angles constants tournent autour de leurs sommets de manière que le point d'intersection de deux côtés décrive une droite fixe, les deux autres côtés formeront deux faisceaux homographiques, et, par conséquent, le lieu de leur point d'intersection sera une conique passant par les deux sommets fixes.

De même si, sur deux droites fixes, à partir des points où elles sont rencontrées par une sécante mobile menée par un point fixe, on porte, dans un sens déterminé, deux longueurs constantes, il est évident

que les extrémités de ces longueurs formeront deux systèmes de points homographiques, et par conséquent que la droite qui les joint enveloppera une conique tangente aux deux droites fixes. Considérons un triangle maa', dont les trois côtés tournent autour de trois points fixes o, o', p (fig. 198), tandis que *ig. 198. deux sommets a et o! glissent sur deux

droites fixes A et A' ; les faisceaux 0 et

p sont homographiques, de même p et o' ; donc les faisceaux o et & sont homographiques, et le point m, troisième sommet du triangle, décrit une conique passant par les deux points o et o\ Il est aisé de voir que le point d'intersection c des droites À et A' et les deux points d et e, où ces droites sont coupées par les droites por et po, appartiennent au lieu ; de cette manière, la conique est déflnie par cinq points.

Lorsque les trois points fixes o, o', p sont en ligne droite, la droite oo' se correspond à elle-même dans les deux faisceaux, et le lieu du sommet m est une ligne droite; c'est le problème que nous avons traité au n° io5.

Considérons de même un triangle mobile aba' (fig. 199), dont les trois sommets glissent sur trois droites fixes A, A', B, tandis que deux côtés ba, boJ tournent autour de deux points fixes 0 et o' ; le faisceau 0 détermine sur les droites A et B deux systèmes de points a et b homographiques; de même le faisceau o' détermine deux systèmes de points homographiques b et a'; donc les deux systèmes a et Fig. 199.

a' sont homographiques, et le troisième côté ao! du triangle enveloppe une conique tangente aux deux droites A et A'. On verra aisément que la droite 00' et les deux droites o'c et od, qui joignent les points 0 et 0' aux points où la droite B coupe les droites A et A', touchent la conique ; de cette manière la conique sera définie par cinq tangentes.

Lorsque les trois droites A, A', B passent par un même point, le point d'intersection des droites A et A' se correspond à lui-même, et l'enveloppe se réduit à un point; donc la droite aa' passe par un point fixe.

Ce mode de démonstration s'applique à des polygones d'un nombre quelconque de côtés. Ainsi, lorsque les n côtés d'un polygone tournent autour de n points fixes et que n — 1 sommets décrivent des droites, le dernier sommet décrit une conique. Lorsque les n sommets d'un polygone décrivent des droites, et que n — 1 côtés tournent autour de points fixes, le dernier côté enveloppe une conique.

Les théorèmes I et II permettent, comme nous l'avons vu, de construire une conique définie par cinq points ou cinq tangentes; mais les théorèmes de Pascal et de Brianchon donnent des constructions plus simples.

324. Théorème III. Lorsque dans Véquation générale d'un faisceau de conioues assujetties a Quatre conditions le paramètre arbitraire n'entre qu'au premier degré, ces coniques déterminent sur une droitô quelconque des points en involution.

Si l'on prend la droite pour axe des x, et si dans l'équation proposée on fait y = o, on obtient une équation de la forme

(A + M') x2 + (B + kW) x + (C + kC) = o,

k étant le paramètre arbitraire. En appelant x et x' les deux racines*

X + x' XX' 1

on a

B — kB' C + kC A + M' '

,, , lf , , , .. A' (x + #') + B' — k'xx' + G' doulondeduit AB^ BA, - AG^ CA, -

325. Théorème IV. Zg$ coniques qui passent par quatre pointsdonnés déterminent sur une droite quelconque des points en involution.

On sait (n° 277) que l'équation des coniques, qui passent par quatre points donnés a, b, c, d, renferme un paramètre arbitraire au premier degré; en vertu du théorème précédent, ces coniques déterminent sur une droite quelconque D des Fig# 200.

points en involution

(fîg. 200). Les deux couples de droites (ac, bd), (ab, cd) donnent deux couples de points conjugués («, a'), (p, p') définissant l'involution.

Corollaire. Les points doubles de l'involution sont les points de contact des coniques passant par les quatre points donnés et tangentes à la droite D; comme il y a deux points doubles, on en conclut qu'il y a deux coniques, réelles ou imaginaires, passant par quatre points donnés et tangentes à une droite donnée. On déterminera ces points par la construction indiquée au n° 319, et alors chacune des, coniques sera définie par cinq points.

326. Théorème V. Les tangentes menées d'un point fixe, aux coniques tangentes à quatre droites données sont en involution.

Ce théorème se déduit du précédent, connu sous le nom de théorème de Desargues, par la méthode des polaires réciproques. Aux coniques tangentes à quatre droites données correspondent, dans la. figure polaire réciproque, des coniques passant par quatre points donnés; aux deux tangentes menées d'un point fixe p à Tune des^ premières coniques, les deux points d'intersection de la droite P', polaire du point p, avec l'une des secondes coniques; ces points.d'intersection sur la droite P' étant en involution, les faisceaux des tangentes partant du point pr sont aussi en involution.

Les quatre droites données (fig. 201) forment un quadrilatère; ia«

diagonale aar peut être considérée comme la limite d'une ellipse tangente aux quatre droites et dont le petit axe devient nul ; les tangentes menées du point p à cette ellipse réduite à son grand axe aa' sont pa et pa'. Il en est de même de la diagonale bb'. On a ainsi deux couples de droites conjuguées (pa, pa'), (pb, pb') définissant l'involution.

Corollaire. Lorsque la conique passe par le point p, les deux tangentes pm, pmr coïncident et forment une droite double; comme il y a deux droites doubles dans l'involution, on en conclut qu'il y a deux coniques, réelles ou imaginaires , touchant quatre droites données et Fig. 201. passant par un point donné. En menant une

sécante à travers le faisceau, et déterminant les points doubles sur la sécante, on obtiendra les droites doubles et chacune des deux coniques sera définie par cinq tangentes.

327. Théorème VI. Les coniques tangentes à deux droites données en deux points donnés déterminent sur une, sécante quelconque une involution, dont l'un des points doubles est situé sur la corde des contacts. Ce théorème est un cas particulier du théorème IV. Supposons que les points a et c coïncident, ainsi que les points b et d (fig. 200) ; le* deux droites ac et bd seront tangentes en a et en 6 ; les deux droites ab et cd se confondant, les deux points conjugués p et p' se réunissent en l'un des points doubles de l'involution à laquelle appartiennent les couples de points (m, m'), (a, a).

Corollaire. Ceci nous donne le moyen de construire une conique passant par trois points donnés a, 6, c, et touchant deux droites données A et A' (fig. 202).

Sur la sécante ab déterminons les deux points doubles e et f de i'in-

Fig. 202.

solution définie par les deux couples de points (a, ô), (a, a'). Sur la sécante ac déterminons de même les deux points doubles e, et fx de

l'involution détinie par les deux couples de points (a, c), (a1? a't). La corde des contacts, devant passer par l'un des deux points e et f et par l'un des deux points ex et fu coïncidera avec l'une des quatre droites que Ton obtient enjoignant ces points deux à deux de toutes les manières possibles. Je dis que l'une quelconque de ces quatre droites, par exemple eeiy donnera une solution du problème : cette droite eei rencontre les deux droites données A et A' en deux points m et m'; on peut mener une conique passant par le point a, et tangente aux droites A et A' aux points m et m! (n° 280) ; cette conique, devant couper la sécante <xa' en un second point conjugué du point a dans l'involution définie par le point double e et le couple de points (a, a'), passera par le point 6; on démontrera de même qu'elle passe par le point c. Ainsi il y a quatre coniques, réelles ou imaginaires, passant par trois points donnés et touchant deux droites données.

328. Théorème VII Les tangentes menées d'un point fixe aux diverses coniques qui touchent deux droites données en deux points donnés, forment une involution dont une droite double passe par le point de rencontre des deux droites données.

Ce théorème est un cas particulier du théorème V Supposons que les deux tangentes ab etab' coïncident (fig. 201), ainsi que a'b et a'ô': les points a et a' deviennent les points de contact des tangentes ab et a'6'; les deux points b et b' se confondant, les deux droites pb et pb' se réunissent sur l'une des droites doubles de l'involution à laquelle appartiennent les deux couples de droites (pm, pm'), (pa, pa').

Corollaire. On en déduit le moyen de construire une conique pas* sant par deux points donnés a et 6 et touchant trois droites données 0 mn, pm et pn (fig. 2o3). Le point de rencontre 0 des tangentes en a et b, devant être situé sur l'une des deux droites doubles de l'involution définie par les deux couples de droites (pa, pb), (pm, pn), et sur Tune des deux droites doubles de l'involution définie par les deux couples de droites (ma, mb), (mn, mp), coïncidera avec l'un des quatre points d'intersection de ces droites doubles prises deux à deux. Je dis que l'un quelconque de ces quatre points, par exemple le point 0, donnera Fig. 203. Une solution du problème ; on peut dé-

crire Urte conique tangente aux deux droites oa et ob aux points a et b et à la droite pm ; la seconde tangente que l'on peut mener du point p à cette conique, devant être conjuguée de la droite pm dans l'involution définie par la droite double po et le couple de droites (pa, pb)r coïncidera avec pn; on démontrera de même que la droite mn est tangente à la conique. Ainsi, il y a quatre coniques, réelles ou imagi-

rvaires, passant par deux points donnés et touchant trois droites données.

329. Remarque. Nous avons dit (n° 283) que l'on peut regarder un foyer comme le point d'intersection de deux tangentes ayant pour coefficients angulaires =fc 2, c'est-à-dire parallèles aux asymptotes d'un cercle; donner un foyer, c'est donc donner deux tangentes à la conique ; ainsi, parmi les coniques qui ont un foyer donné, il y en a une tangente à trois droites données (n° 262), deux tangentes à deux droites données e£ passant par un point donné, quatre (dont deux réelles et deux imaginaires) tangentes à une droite donnée et passant par deux points donnés, et enfin quatre passant par trois points donnés (n° 260).

Nous avons appris à construire une conique satisfaisant à cinq conditions élémentaires, points de la courbe ou tangentes ; quatre conditions suffisent pour la détermination d'une parabole, et l'on peut ramener la question à l'une des précédentes par une transformation à Kaide de la méthode des polaires réciproques. Nous savons en effet (n° 299) que, lorsque le centre 0 de la courbe directrice est situé sur une conique, la courbe polaire réciproque est une parabole, et que, réciproquement, la courbe polaire réciproque d'une parabole est une conique passant par le centre 0 de m courbe directrice. Dans la transformation, la condition que la courbe cherchée est une parabole est donc remplacée par le point 0, les points par des droites, les droites par des points. La construction d'une parabole tangente à quatre droites données est ainsi ramenée à la construction d'une conique passant par cinq points donnés; il y a une solution et une seule. Da> même, ii y a deux paraboles passant par quatre points donnés, ou passant par un point et touchant trois droites données ; quatre paraboles passant par trois points et touchant une droite, ou passant par deux points et touchant deux droites données. En traçant la tangente en 0 à la courbe polaire réciproque et menant le diamètre conjugué dans la courbe directrice, on aura la direction des diamètres de la parabole, ce qui permettra d'appliquer immédiatement aux données les théorèmes précédents.

M. Chasles a imaginé une méthode ingénieuse pour étudier les propriétés d'un système de coniques satisfaisant à quatre conditions données, et il a fait voir que ces propriétés dépendent de deux nombres entiers qu'il appelle les caractéristiques du système ; ce sont les nombres des coniques du système qui passent par un point donné ou qui touchent une droite donnée. Par exemple, les deux caractéristiques du système des coniques qui passent par quatre points donnés sont 1 et 2 ; celles du système des coniques qui touchent quatre droites données sont 2 et 1, celles du système des coniques qui passent par trois points et qui touchent une droite sont 2 et 4, celles du système des coniques qui passent par un point et qui touchent trois droites sont 4 et 2 ; enfin celles du système des coniques qui passent par deux points et qui touchent deux droites sont 4 et 4-

COORDONNEES HOMOGENES.

330. Quand on étudie une courbe algébrique définie par son équation F (#, y) = o , il y a souvent avantage à considérer la fonction entière et homogène obtenue en remplaçant

x y dans F (x, y) les coordonnées x eiy par -, - et multipliant

le résultat par une puissance convenable de z. On en a des exemples quand on cherche l'équation de la tangente en un point de la courbe (n° 291) ou les coordonnées des points de contact des tangentes menées par un point quelconque du plan.

On appelle alors coordonnées homogènes d'un point trois

nombres x, y, z tels que les rapports — , - soient respectivement égaux à l'abscisse et à l'ordonnée de ce point. Ainsi un point qui a pour abscisse - et pour ordonnée - a pour

coordonnées homogènes 9, 2, 12 ou gn, in, îan, n étant un nombre quelconque différent de zéro. Soit alors f{x) y, z) = o l'équation d'une courbe algébrique rendue homogène par le procédé que nous venons de rappeler, on dira que cette équation est l'équation de la courbe en coordonnées homogènes.

Points à l'infini. — Droite de l'infini. D'après la définition précédente, pour un point quelconque du plan la troisième des coordonnées homogènes z n'est jamais nulle. On considère cependant des systèmes de valeurs de x , y , z dans lesquels la troisième variable z est nulle et l'on dit qu'un pareil système (xi9 yt, 0) correspond à un point à l'infini et que ce point est sur une courbe ayant pour équation en coordonnées homogènes f{x, y,z) = o si Von a f(xt , yt , 0) = 0 .

En particulier, dire que le point à l'infini (xif yiy o) est sur la droite y~ax-\- àz, signifie que l'on a la condition yi =n:xi. On peut remarquer, pour justifier cette expression de point à l'infini, que l'on se trouve conduit à considérer de tels systèmes de valeurs de x, y, z quand on suppose qu'un point

s'éloigne indéfiniment sur une droite donnée. Ainsi dont les coordonnées homogènes sont

x = xi — lx<t, y = yl — Xy2, z=i—\

et,par suite, les coordonnées cartésiennes

xl—lx2 Vi—ty* i— X ' i— X

est sur la droite dont l'équation homogène est

xt

et dont le coefficient angulaire est a=.~ — — . Si Ton sup-

pose que X tende vers i5 le point s'éloigne indéfiniment et pour X= 1 on aura pour x , y , z les valeurs

vérifiant la condition y — ax=.o.

Comme une équation homogène du premier degré en x, y, z représente en général une droite,et que les coordonnées de tous les points à l'infini vérifient l'équation homogène du premier degré z = o, on dit que tous les points à l'infini se trouvent sur une droite (droite de l'infini) ayant pour équation 2 = 0 . On peut dire alors que deux droites parallèles

y = ax -f- bz , y = ax -f- b 'z

ont un point à l'infini commun ou se coupent sur la droite de l'infini, pour rappeler que les équations de ces deux droites sont satisfaites pour un même système de valeurs de x, y, z

dans lequel z est nul. On peut dire de même que deux courbes

ont un point à l'infini (xi9 yt, 0) commun si l'on a

/'Ol>*/i> o)=o , «pfo,^, o)=o.

Comme au numéro 270, on appelle point imaginaire un système de valeurs imaginaires de #, y} z, à condition qu'on ne puisse

pas rendre x, y, z réels en les divisant par une même quantité imaginaire. Un point imaginaire à l'infini sera un point imaginaire dont la coordonnée z est nulle.

Exemple. L'équation générale d'un cercle est en coordonnées cartésiennes rectangulaires x et y

x* + y* + ax + by-\-c = o9 donc en coordonnées homogènes

x2 + y2 + {ax + by + cz)z = o .

Cette équation est vérifiée par les deux systèmes

x=i , y=yj — 1,8 = 0 ; # = i , # = — \/ — i , * = o et cela quels que soient ayb,c. On peut donc dire qu'un cercle quelconque passe par les points à l'infini, dont les coordonnées homogènes sont(i, sj — i, o) (i, —\J— i, o): ces deux points s'appellent points

CIRCULAIRES A L'iNFINI.

Réciproquement, toute courbe du second ordre qui passe par les points circulaires à l'infini est un cercle. Car si l'équation générale de second degré

Ax2 + zBxy + Gy 2 + zDxz + aEy* + F*2 = o est vérifiée par les coordonnées de ces deux points, on a

A + aB/^ — C = o , A — 2BV/^r^ — G = o d'où en ajoutant et retranchant

A=C , B=o , ce qui exprime que la conique est un cercle.