APPLICATIONS

Cherchons l'équation en coordonnées homogènes de la droite joignant les deux points Mi et M2 qui ont pour coordonnées (xiy yiy zt) (x2, y 2, z2). Cette équation est

en effet l'équation que nous venons d'écrire représente une droite, et cette droite passe par les deux points, car l'équation est évidemment vérifiée par les coordonnées des deux points. On peut exprimer, comme il suit, les coordonnées d'un point quelconque de la droite en fonction d'un paramètre. Le déterminant (3) étant nul, il existe une même relation linéaire et homogène entre les éléments des trois colonnes Aar-fB^ + Ca^o, Ay + By1 + Cya=o, Az+B21+Cz2=o. Le coefficient A n'est pas nul, car s'il était nul les coordonnées xi> Vu zi seraient proportionnelles à x2, y2, z2 et les deux points Mlf M2 coïncideraient et ne détermineraient plus une droite. Le coefficient A étant différent de zéro, on peut résoudre les relations ci-dessus par rapport & x, y, z et l'on a pour x,y, z des expressions de la forme

x=pxi-\-vx2, y = ^i+vys, z = \KZi+vzi;

réciproquement, quels que soient v et (a le point défini par ces expressions appartient à la droite puisque ces expressions vérifient l'équation (3). Comme on peut diviser x, y, z par une même quantité, on pourra les diviser par y. et en faisant

- = X on aura

(4) x—Xi+ïXi , y—yi+^y^ , z = zi+iz% excepté pour le point x2, y2, z2 qui correspond à [/. = o. Interprétation de X. Si zt = z2 == î on a

x xi-\-\x2 y yi+\y2.

on retombe sur des formules déjà établies (n° 57) et on voit, en appelant M le point (a?, y, z), que

__ MM

MM2

Si zi et s2 sont quelconques mais non nuls, on pourra diviser

z, y, 2 par z4 et poser X — = X' ; il vient

on retombe donc sur le cas précédent et X' est défini par

mm/

d'ailleurs X' ne diffère de X que par le facteur — qui reste

constant quand, laissant fixes les coordonnées (#t, yif zt) (%*, y*> z2), on imagine que le point M se déplace par la droite. On en déduit que les deux points

(M) y = y, + Xy, (M') y'^yt-ly2

z = zi -j- Xz2 z' = Z, — X^2

sont conjugués harmoniques par rapport aux deux points donnés. On vérifiera aisément que ce résultat subsiste si l'une des deux quantités zi ou z2, par exemple ss,tend vers zéro. Alors le point M2 devient un point à l'infini et le point Mt est le milieu du segment déterminé par les points M. et M' : on peut donc encore dire que les points MM' sont conjugués harmoniques par rapport aux points M.i et M2. Si les deux points Mâ M2 sont à l'infini, zi=zi^=o on convient de dire

encore que les deux points M et M' qui sont aussi à l'infini, sont conjugués harmoniques par rapport à Mt et M2.

Problème. Polaire d'un point Mt (xu yi9 zx) par rapport à une conique

f[x, y, z) — Ax2 + iBxy + Gy2 + *Dxz + -iEyz + Fz2 = o. Soit M {x, y, z) un point de la polaire : les coordonnées d'un point quelconque de la droite M4M seront

*i + to 9 Vi+ty , *i+te et les valeurs qu'il faut donner à A pour obtenir les coordonnées des points où la droite M4M coupe la conique, sont racines de l'équation du second degré

f{xi-\-\x , t/i+ly , zi+lz) — o9 f^i,yi^i) + X(xfXi-^yfyi+zQ+l2f(xiy,z)==o.

Soient X' et À" les racines de cette équation : les coordonnées des points M', M" où la droite MMt coupe la conique seront

(M') Xi+\'x , y.+Wy , z. + Xz

(MO x, + rx , Vi + ry , z. + rz;

comme le point M est supposé un point de la polaire, les points M' et M" sont conjugués harmoniques par rapport à Mt et M. Pour cela il faut et il suffit que

c'est-à-dire

Cette équation étant satisfaite par les coordonnées d'un point quelconque de la polaire est l'équation de la polaire. On peut l'écrire aussi

(5)' ^ifx + !/ifi + ^ifM = o.

Si le point MA est à l'infini, zi =o ; la polaire de ce point est

alors le lieu des milieux des cordes de coefficient angulaire ~

c'est-à-dire le diamètre conjugué de la direction xyt — yxx = o ;

l'équation de ce diamètre est donc

comme on l'a trouvé précédemment.

Coordonnées homogènes d'une droite. On appelle coordonnées homogènes d'une droite ayant pour équation

ux + vy -f- wz = o les coefficients u, v, w de cette équation. Ainsi, Taxe des x a pour coordonnées w = o , v^o , w~o; la droite de l'infini a pour coordonnées w = o, v = o, w^o. D'après cela une équation linéaire et homogène entre w, v9 w

au -f- bv -f- cw = o

exprime que la droite (w, v, w) passe par le point dont les coordonnées homogènes sont a, b, c; c'est l'équation de ce point.

L'équation tangentielle d'une courbe est la condition que doivent remplir les coordonnées u, v, w pour que la droite de coordonnées u, v, w soit tangente à la courbe; cette équation tangentielle sera homogène en w, v, w. Ainsi, l'on a l'équation tangentielle d'un cercle dont le rayon est R et dont le centre a pour coordonnées a, b, i, en exprimant que la distance du centre à la droite w, v, w est R; ce qui donne l'équation homogène

(ua + vb + w)2 — R2(w2 + v2) = o.

L'équation tangentielle de la conique

/•(a?, y, z) = Ax2 + iBxy + Cy2 + zDxz + 2Eyz -f Fz2 = o est

au2 -|" abwy + cy2 + admo + aew + fw2 = o.

Si f =o,la courbe est une parabole et l'équation tangentielle est vérifiée par les coordonnées w = o , v = o, w^o de la droite de l'infini : c'est ce que l'on exprime en disant qu'une parabole est tangente à la droite de l'infini.

Soient (ut1 vt1 wj, (w2, v2, tv*) les coordonnées de deux droites distinctes; l'équation de leur point d'intersection sera

Les coordonnées u, v, w d'une droite quelconque D passant par ce point peuvent s'écrire

(D) u = ui-\-lu2 , v = vi-\-lv2 , w = wi-\-\W2\

on démontrera ces formules comme les formules (4). Si l'on change X de signe, on obtient les coordonnées d'une deuxième droite

(D') u' = ui — lu2 , v' = vi — lv2 , w' — wl — Xw2

qui est conjuguée harmonique de la première par rapport aux droites données : en effet l'équation de la droite D est

ux -\- vy + wz = utx -f- vty -f- w^z + X(w2# + y2# + ^2Z) = ° et celle de D' est de même

UiX + ViV + W'iZ "" ^ (w2^ -f- ^2/ + w*z) == ° ce qui démontre le théorème (n° 69).

Exercice. Démontrer que le pôle de la droite (uu y1} wt) par rapport à la courbe de seconde classe qui a pour équation tangentielle <p (u,v, w) = o est donné par l'équation

u 9'uj + v <p'Tl + w ç'Wl = o ou ut k + Vt?; + Wt ?'w = o.

COORDONNÉES TRILINÉ AIRES