Définition. Considérons les trois équations linéaires

c/L — ax-{-by-\-cz (6) p=a'x-\-b'y-\-cz

où le déterminant

abc D = d V d

est différent de zéro. Ces équations font correspondre à tout système de valeurs de x, y, z un système unique de valeurs

de a, p, y et, réciproquement, à tout système de valeurs de «, S. y un système unique de valeurs de x, y, z.

Si x, y, z sont les coordonnées homogènes d'un point du plan, on voit ainsi qu'à tout système de valeurs de a, p, y non nulles toutes trois, correspond un point M bien déterminé et à tout point M du plan correspond un système unique de valeurs de a, p, y, à condition de ne pas regarder comme différents des systèmes tels que a, p, y, et poc, pp, py.

Les quantités a, p, y seront appelées coordonnées trilinéaires du point M par rapport au triangle de référence dont les côtés ont pour équations

ax + by -j- cz = o , a'x-\- b'y -f- c'z = o , a"x + b"y + c"z = o.

Interprétation géométrique. Si l'on prend z=i, les coordonnées trilinéaires a, p, y sont égales aux distances du point M aux trois côtés du triangle de référence multipliées par des facteurs qui restent fixes au signe près quand le point M varie. En particulier, si l'on prend les équations

a = — (x cos a-}- y sin a — pz)

{j} p = — (x cos b + y sin b — q z)

y = — (x cos c -f- y sin c — r z)

et si Ton suppose l'origine des coordonnées cartésiennes à l'intérieur du triangle, on voit que, pour z = 1, ce, p, y sont égaux aux distances du point M aux côtés affectées de signes convenables. Ce signe est -f- pour un côté ÀB du triangle de référence quand le point considéré M et le sommet G opposé à AB sont situés d'un même côté de AB ; il est — dans le cas contraire.

Pour obtenir en coordonnées trilinéaires l'équation d'une courbe donnée en coordonnées homogènes f(x, y, z) = o , on remplacera x, y, z par les expressions obtenues en résolvant les équations (6) par rapport à x, y> z. Les valeurs obtenues pour x, y, z étant linéaires et homogènes en a, p, y> la nouvelle équation F (a, p, y) = o sera homogène en a, p, y et de même degré que f. Inversement si Ton donne une équation

COORDONNEES TRILINEAIRES. 353

en coordonnées trilinéaires F (a, p, y) = o , il suffira d'y remplacer a, p, y par les expressions (6) pour avoir l'équation de la courbe en coordonnées homogènes.

Soit par exemple

f(x,y,z) =zux-{-vy -\-wz = o

l'équation d'une droite en coordonnées homogènes; si Ton fait la substitution précédente, on aura, pour cette même droite l'équation

F = Ua + Vp + Wr = o.

On repassera à l'équation f en remplaçant a, (B, y par leurs valeurs (6). On voit ainsi que

uz^dU + afV + arW

w = cU + c'V + c'rW.

Les coefficients U, V, W de l'équation F s'appellent coordonnées tangentielles de la droite dans le nouveau système : les équations (8) expriment les coordonnées tangentielles homogènes (u, v, w) en fonction des nouvelles (U, V, W) et inversement. Elles permettront de transformer toute équation tangentielle homogène enu^v, w , cp (u, v, w) = o, en un? autre de même degré <I> (U, V, W) = o et inversement.

Équation de la droite de V infini en coordonnées trilinéaires. On a appelé coordonnées d'un point à l'infini un système de valeurs (x, y, z) dans lequel z est nul. Si l'on résout les formules (6) par rapport à z et si l'on égale à zéro l'expression linéaire homogène en a, [3, y obtenue pour z, on a une condition que l'on appelle équation de la droite de l'infini. En particulier, des équations (7) on tire

zD — a sin (ô — c) -j- p sin (c — a) + y sin (a — b) ,

D étant un facteur constant : et l'on obtient pour l'équation de la droite de l'infini

a sin A -f- (3 sin B -f- y sin G = 0

où A, B, C sont les angles du triangle de référence.

Équation de la droite passant par deux points. Soient deux

GÉOM. ANALYT. 23

points Mj et M2 ayant pour coordonnées trilinéaires (a4 , pn Yl) (oc2, p2, y2), l'équation de la droite joignant ces deux points est

«i Pi Ti

Les coordonnées d'un point M de la droite s'exprimeront par les formules

(M) <* = <*, +Xa, , p = pd +\32 , Y = Yl+XYi où A a la même signification que dans les formules (4). En effet, appelons (arâ, yl9 zt) (a?2, y2) z2) (x, y, z) les coordonnées homogènes des points Mft, Ms, M. On a d'après (6) ai = axi + byi -f- czi a2 = ax2 + ty2 + cz* a=ax-{-by-{-cz; comme x=xi-\-lx2, ..., ...,

on a aussi a=at-f Xa2 et de même pour p et y. 11 résulte de là que le point M' de coordonnées

(MO a,— Xa2 , p4 — Xp2 , Yl-XÏ2

est conjugué harmonique de M par rapport au segment M^Ma.

On peut en conclure, par le même calcul que précédemment (éq. 5), que la polaire du point (an pt, Yl) par rapport à une conique

F (<x,p,Y) = A*2 + A'p2 + AV + 2B(3Y + 2B'Ya + aB'ap = o

a pour équation

^Fa + PiFp + YiFY = o ou aFai+(3FPi + YFYi = o.

Tangente en coordonnées trilinéaires. Soit F (a, p, Y) = o l'équa tion d'une courbe et au pâ, Yl un point pris sur la courbe ayant pour coordonnées homogènes x^y^ zt. En remplaçant a, p, Y par leurs expressions (6) on aura l'équation de la courbe en coordonnées homogènes : par cette substitution F (a, p, Y) se transforme identiquement en f(x, y, z) premier membre de l'équation de la courbe en coordonnées homogènes. L'équation de la tangente au point #,, yi9 zu est

COORDONNÉES TRILINÉAIRES. 353

or l'identité

donne, on vertu des équations (6),

£i = aF«i + a'Ff5i+a"FYi

d'où

*r,t + yfVi + *rn = «f«, + pFp . + yfTi .

L'équation de la tangente du point a1( plf y, est donc «F«, + pF'pi + YFV1=o.

Les coordonnées tangentielles de cette tangente sont données par les équations

PU = Fai , pV = F'P| , pW = FY?

p étant une constante différente de zéro.

On démontrera de même que :

i°) L'équation du point d'intersection de deux droites D£ et D2 de coordonnées (Uâ, V4, W4) et (U2, V2, W2) est U V w

2°) Les coordonnées d'une droite quelconque D passant par ce point sont

(D) 11 = 11, +XU, , V = V1 + ^V, , W = Wt + XWa;

5°) La droite D' dont les coordonnées sont

(D') Ut— XU, , Y1-XV2 , Wt-XW2

est conjuguée harmonique de D par rapport aux deux droites D.etDs;

4°) Si Ut Vt Wt sont les coordonnées d'une tangente à la courbe qui a pour équation tangentielle <D (U, Y, W) = ot l'équation du point de contact est

Ufc^+VfcV. + WGW.^o et les coordonnées de ce point sont données pour les formules

pa = <l>u( , pp — a>'Yl , py = <I>V .

Voici quelques applications bien simples des considérations précédentes.

Exemple I. Former l'équation générale des coniques conjuguées par rapport au triangle de référence.

Soit

F (a, p, T) == Aa2 + A'p2 + A"y2 + sBpy + 2BV + 2B"ap = o

l'équation d'une telle conique. La polaire de chaque sommet du triangle de déférence par rapport à cette conique doit être le côté opposé. La polaire du point (ai, pi, yi) étant

«iF« + PiFp+YiF^ = o,

celle du sommet du triangle quia pour coordonnées ai = 0, p4 = o.yi ^o est

-F; = B'a + Bp + AffY = o

cette polaire devant coïncider avecle côté opposé y = o , il faut B = B' = o. On trouvera de même B" = o et l'on aura pour l'équation demandée

A«2 + A'p2 + AV = o.

L'équation tangentielle de ces mêmes coniques est

Il faut remarquer que, dans ces formules, on peut supposer que l'un des sommets ou l'un des côtés du triangle de référence est à l'inflni.

Équation générale des coniques inscrites dans le triangle de référence. — La courbe la plus générale de seconde classe est représentée en coordonnées tangentielles par l'équation

AU2 + AT2 + A"W2 + aBVW + aB' WU + 2B"UV = o ;

en exprimant que cette courbe est tangente aux trois côtés du triangle de référence qui ont pour coordonnées respectives.

V = oetW = o, W = oetU = o, U = oetV = o,

on trouve A = A'= A" = o. L'équation tangentielle des coniques considérées est donc

BVW + B'WU4-B',UV = o.

Quant à l'équation en coordonnées trilinéaires elle est

COORDONNÉES TRILINÉAIRES. 357

ou B2«2 -f B'2pa + B"2y2 — 2B'B"(3y — 2BB"aY — 2BB'ap = o,

Équation générale des coniques inscrites dam un quadrilatère. Soient, en coordonnées homogènes, ]?=zlx4-l'y + l"z = o, Q = mx + m'y + m"z = o,~R = ?ix -h n'y -j-w"s = o,

S = kx -f k'y + &"* = o les équations des quatre côtés du quadrilatère. On pourra toujours trouver trois fonctions linéaires homogènes

a = ax -f a' y -f a"» , p = £# + ô'y -f &"s , y = c# + c'î/ + c"&

et quatre constantes p, g, r, «s de telle façon que l'on ait identiquement

n pP = a+P + y , ^Q = a-p-y,

llj rR=« — P + Y sS=:a+P-Y;

l'identification des deux membres de ces identités fournira douze

équations homogènes du premier degré entre les treize constantes

inconnues

a,a\a" ; bj)\b" f c,c',c" ; p,q^\s.

L'on peut simplifier le calcul comme il suit. L'on tire immédiatement des identités (1) la suivante.

(2) />P + $rQ — rR — sS = o

qui déterminera p, q, r, s ou plutôt les rapports de ces quatre constantes à l'une d'elles. Les constantes p, q, r, s étant ainsi déterminées, l'une des identités (1) est une conséquence des trois autres : l'on en tirera

2a = pV ■+- qQ = rR -f sS 2P=/?P — rR = $S — qQ ay—pp — sS =rR — qQ,

les fonctions a, p, y son^ d°nc connues ; les deux expressions trouvées pour chacune de ces fonctions linéaires sont identiques en vertu de l'identité (2). Les trois droites a = o,p==o,Y:=o sont les diagonales du quadrilatère complet donné. En effet, l'équation de la droite k — o peut s'écrire sous les deux formes

pV + qQ = o , rR + sS = o;

la première montre que .cette droite passe par le sommet du quadrilatère situé à l'intersection des côtés P = o, Q = o, et la seconde qu'elle passe par le sommet opposé R = 0, S = 0.

Ainsi, en prenant pour triangle de référence le triangle formé par les trois diagonales d'un quadrilatère complet, on pourra mettre les équations des côtés du quadrilatère sous la forme

Le sommet P = 0 Q = 0 a pour coordonnées trilinéaires a==op + Y = ° et le soxmet opposé R = o, S = oa pour coordonnées trilinéaires

ocr=o, P = Y. Le premier de ces points a pour équation tangentielle V 4- W = o et le second V — W = o : l'ensemble de ces deux sommets opposés est donc représenté par l'équation tangentielle V2 — W2 = o. De même l'ensemble des deux sommets opposés P = o , S = o et Q = o,R = o est représenté par l'équation tangentielle U2 — V2 = o. L'équation tangentielle générale des coniques incrites dans le quadrilatère est donc (N° 3o7, Ex. II)

ou XU2 + (i — >)V2 — W2 = o.

L'équation de ces mêmes coniques en coordonnées trilinéaires est

«* + ii Y, = 0.

Remarque. En faisant en particulier

on a l'équation

X yJ r

des coniques homofocales.

Exemple II. Considérons deux triangles polaires réciproques par rapport à une conique donnée ; afin de simplifier prenons les côtés de l'un des triangles comme lignes de repère servant à la définition des nouvelles coordonnées, et soit

/•(«, p, T) = ï (Aa2 -f AT + A'V + 2Bpr + 2B'ya + 2B"«p) = o

l'équation de la conique. La polaire d'un point quelconque (a', p', y') a pour équation a'/^ -f- P'/s + t'f = °- En particulier, les polaires des trois sommets (p' = o, y' = o), (y' = o, a' = o), (a' = o, p' = o) du triangle sont représentées par les équations £ = Àa + B"p + B'Y = o, /£ = B"a + A'P-f BY = o, /^ = B'a -}- Bp 4- A"y = o.

Ces polaires sont les côtés du second triangle. Les coordonnées du point d'intersection des deux côtés correspondants a — o, /£ = o véri-

fient les équations a = o , B"P + B'y = o , ou a = o, - -f- X ™ o ; ce point est situé sur la droite £ -j-~ + X = o', et il en est de même

des deux autres. Ainsi les trois points de rencontre des côtés correspondants de deux triangles polaires réciproques sont en ligne droite.

Un sommet du second triangle est donné par les deux équations f'u = o, /£ = o, la droite B/£ = B'/p passe par ce point; comme l'équa-

COORDONNÉES ÏRILINÉAIRES.

tion ne contient plus la lettre y, cette droite passe évidemment par le sommet (a = o, p = o) du premier triangle. Les droites qui joignent les sommets correspondants étant représentées par les équations B/^ = B'/a = BYy» on en conclut que ces trois droites passent par un

même point.

Exemple III. Un triangle abc est inscrit dans une conique ; deux de ses côtés ab et ac tournent autour de deux points fixes p et q (fig. 2o5) , trouver l'enveloppe du troisième côté bc. Soient y = o, l'équation de la droite pq, « = o et p = o celles des tangentes aux points d et e où cette droite rencontre la courbe ; l'équation de la conique sera de la forme «p — y2 = o. On peut regarder les points p et q comme les points où la droite y = o est coupée par deux droites a + p$ = o , a + q$ = o, qui passent par le point d'intersection o des tangentes en d et e. Un point quelconque a de la courbe peut être déterminé par l'intersection de deux droites a — ay = o, p — I = o passant par les points d ' a

et e, a étant un paramètre arbitraire qui définit la position du point a sur la courbe. En attribuant à ce paramètre une autre valeur b, on obtient un autre point b. Une droite quelconque passant par le point a

a une équation de la forme a — ay + k (P — I j = o ; pour qu'elle passe par le point b qui est représenté par les deux équations a — by = o,

Fig. 205.

o, il faut faire k — ab; ainsi la droite qui joint deux points

quelconques a et b de la courbe a pour équation a + a£p — (a- -f- #) Y = o. Gela posé, soient a, b, c les valeurs du paramètre pour les trois sommets a, b, c du triangle; le côté ab passant par le point p, on a ab~p; le côté ac passant par le point q, on a de même ac = q; le côté bc a pour équation a -f bc? — (b + c) y = o; si Ton remplace b

et c par leurs valeurs - et * , l'équation devient

a2a + pq$ — (p + 9) ay — o.

Si entre cette équation et l'équation

2aa — (p + q) y = o ,

que l'on obtient en égalant à zéro la dérivée par rapport à a, on élimine le paramètre variable a, on a l'équation de l'enveloppe de la

droite bc

l\pq «

Cette enveloppe est une conique qui touche la première aux points d et e.

Les coordonnées tangentielles U, V, W de la droite mobile so>it données par les équations :

pU = a2 , ç>V = pq , pW = — (p + q)ci:

l'élimination de a et p donne pour l'équation tangentielle de l'envô^ loppc UV {p -r ç)2 — W2pq — o.

Si l'on mène les tangentes à la conique proposée aux points a, b, e9 on forme un triangle circonscrit a'b'c', dont les deux sommets br et (f glissent sur deux droites fixes P et Q, polaires des points p et q; la courbe décrite par le sommet a', pôle de la droite bc, est la polaire réciproque de l'enveloppe ; c'est donc aussi une conique doublement tangente à la première suivant la ligne de.

EXERCICES

i. Les huit points de contact des tangentes communes à deux coniques données sont situés sur une même conique.

2. Un triangle est inscrit dans une conique, deux côtés passent par deux points fixes ou roulent sur deux coniques doublement tangentes à la première, l'enveloppe du troisième côté est une conique. — Théorème corrélatif.

3. Un polygone de n côtés est inscrit dans une conique; n — i côtés roulent sur des coniques doublement tangentes à la première; l'enveloppe du nQ côté est une conique. — Théorème corrélatif.

4. Étant données deux coniques S et S', et deux tangentes à la conique S7, les six droites qui joignent deux à deux les quatre points où ces tangentes coupent la conique S sont deux à deux tangentes à une même conique passant par les points d'intersection des coniques S et S'. — Théorème corrélatif.

5. Étant données trois coniques ayant quatre points communs, un triangle inscrit dans l'une d'elles a deux de ses côtés tangents respectivement aux deux autres, le troisième côté enveloppe une conique. — Théorème corrélatif.