Étant données n coniques ayant quatre points communs, un

COORDONNEES TRILINEAIRES. 3GI

polygone de n côtés inscrit dans Tune d'elles a n — i de ses côtés tangents respectivement aux autres, lewe côté enveloppe une conique. — Théorème corrélatif.

7 .Un polygone, dans une de ses positions, est inscrit à une conique et circonscrit à une autre conique; si l'on fait mouvoir les sommets sur la première conique, de manière que n — i côté restent tangents à la seconde, le we côté restera constamment tangent à cette seconde conique.

Dans les théorèmes 4, 5> 6 et 7, on peut remplacer les coniques qui ont quatre points communs par des coniques homothétiques ayant deux points communs, et en particulier par des cercles ayant deux à deux le même axe radical.

8. L'enveloppe des droites qui coupent deux coniques données suivant quatre points en proportion harmonique est une conique. — Théorème corrélatif.

Si les deux coniques ont pour équations en coordonnées trilinéaires a2 4- P2 4- 72 = o , Àa2 4- Bp2 4- Gï2 = o , la condition nécessaire et suffisante pour que la droite u& 4- v$ 4- w^ = o coupe les deux coniques suivant quatre points en proportion harmonique est (B + C)w24-(G4-A)^2 4- (A-fB)«/2 = o.

Qu'arrive-t-il quand A4- B = o ? Appliquer au cas particulier où l'une des coniques étant un cercle, l'autre est une hyperbole équilatère concentrique.

9. On sait que les polaires d'un point p par rapport à toutes les coniques ayant quatre points communs passent par un même point q; si le point p décrit une droite, le point q décrit une conique. — Théorème corrélatif.

to. Lorsque deux côtés d'un triangle inscrit dans une conique roulent sur deux courbes quelconques données, le troisième côté enveloppe une troisième courbe; démontrer que les droites qui joignent les sommets du triangle aux points de contact des côtés opposés passent par un même point. — Théorème corrélatif.

n. Étant donné un hexagone inscrit dans une conique, on prend les points d'intersection des côtés opposés, puis les points d'intersection de chacune des trois diagonales avec les deux côtés opposés : les neuf points ainsi obtenus sont situés sur trois droites passant par un même point.

i2. Étant donnée une conique S, on mène une conique variable S' qui coupe la première en deux points fixes et qui touche deux droites fixes dont le point de rencontre est situé sur la conique S; l'enveloppe de la droite qui passe par les deux autres points d'intersection des coniques S et S' est une conique. — Théorème corrélatif.

i3. Un quadrilatère étant circonscrit à une conique, si on mène une tangente quelconque à la conique, on sait que le rapport du produit des distances de cette tangente à deux sommets opposés du quadrilatère au produit des distances de cette môme tangente à deux autres sommets opposés est constant; démontrer que ce rapport est égal au produit des distances des deux premiers sommets à l'un des foyers divisé par le produit des distances des deux autres sommets au même foyer.

14. Les six côtés de deux triangles quelconques inscrits dans une même conique sont tangents à une autre conique. — Théorème corrélatif.

i5. Trois points sont dit conjugués par rapport à une conique, lorsque la polaire de l'un d'eux est la droite qui joint les deux autres. Démontrer que deux systèmes de trois points conjugués par rapport à une conique sont situés sur une autre conique. — Thorème corrélatif.

16. Trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une conique coïncide avec sa polaire réciproque par rapport au cercle x2 + y2 — 1 = o.

17. L'équation tange; itielle d'une conique en coordonnées rectangulaires étant

au2 + 2huv -f- cv2 -f- zdu + zev + f = o ,

démontrer que le cercle lieu des sommets des angles droits circonscrits à la conique, a pour équation

f (x2 + y2) — 2d# — 2ey + a -f c = 0.

18. On considère une conique variable tangente à quatre droites fixes. Démontrer que le cercle lieu des sommets des angles droits circonscrits à cette conique passe par deux points fixes, réels ou imaginaires.

19. On considère une conique variable tangente à trois droites fixes. Démontrer que le cercle lien des sommets des angles droits circonscrits à cette conique est orthogonal au cercle conjugué au triangle formé par les trois droites.

20. Soit une conique ayant pour équation f(x, y) — (Ix + my + n)2 =0, f(x, y) étant un polynôme du second degré en x et y. Démontrer que l'équation tangentielle de cette conique est de la même forme

<p (u, v) — (>w 4- y-v -f v)2 = o ç étant du second degré en u et v. Appliquer au cas où f(x,y) = {x-ay + {y-b)*.

ai. Former l'équation tangentielle de la courbe engendrée par un

COORDONNÉES TR1LINEAIRES.

point d'une circonférence roulant dans l'intérieur d'une circonférence de rayon triple. (Hypocycloïde à trois rebroussements). En écrivant l'équation de la tangente à la courbe sous la forme

œsina — î/COSa=^

on montrera que p est de la forme

p = a cos (3a -f a0)

a et «o désignent des constantes.

22. Enveloppe des axes et des tangentes au sommet des paraboles inscrites dans un triangle.

23. Enveloppe des axes des hyperboles équilatères circonscrites à un triangle.

24. Démontrer que la condition nécessaire et suffisante pour que les deux droites ayant pour coordonnées (u,v) (u',v') se coupent sur la conique

Ax* + zBxy + Gî/2 + 2Das -f aEy + F = o est

u' tf 1 00