AE

d'où

cos w p=^DE = AE — ADr=

AD = a cos w ; a

COS oi

- a COS 0) :

a sin2 <o

COSto

Ainsi la cissoïde estreprésentéeen coordonnées polaires par l'équation

asin'w^

Fig. 17.

Cherchons maintenant l'équation en coordonnées rectilignes ; prenons le point A pour origine, la droite AB pour axe des x et une perpendiculaire pour

axe des y. Dans le triangle rectangle MAP, on a

# = pcosco , y = psinw , p2—x2-\-y2;

si, dans l'équation (1), on remplace d'abord cos <o par -, sin w

par-, ce qui donne f x—ay2, puis p2 par x2-\-y2, on arrive à

P l'équation de la cissoïde en coordonnées rectilignes

22. Proposons-nous de construire, au moyen de son équation en coordonnées rectilignes, la cissoïde, dont nous avons déjà trouvé la forme d'après sa définition géométrique.

En résolvant l'équation par rapport à y, on a

L'ordonnée n'est réelle que pour les valeurs de l'abscisse comprises entre 0 et a; donc la courbe est située tout entière entre l'axe des y et la parallèle CC menée à la distance a (fig. 16). Quand x croît de 0 à a, la valeur numérique de y croît de 0 à co, ce qui donne une branche de courbe partant de l'origine A et s'élevant indéfiniment. En même

temps, la distance M'H = a — x d'un point de la courbe à la droite BC tend vers zéro, ce qui fait voir que la droite BC est asymptote de la courbe. Comme à chaque valeur de x correspondent deux valeurs de y égales et de signes contraires, la courbe se compose de deux branches, symétriques par rapport à l'axe AX.

STROPHOÏDE.

23. Un angle droit YOX (fig. 18), et un point fixe A sur un de ses côtés, étant donnés dans un plan, on mène du point fixe A une droite quelconque AD, qui rencontre le côté OY en D, et Ton porte sur cette droite, d'un côté et de l'autre, à partir du point D, des longueurs DM et DN égales à OD; le lieu des points M et N est la strophoïde.

Quand la droite mobile occupe la position AO, les deux points M et N se confondent en 0. Si la droite tourne de manière à ce que le point D s'élève indéfiniment sur OY, OD augmente, et le point N décrit une branche de courbe infinie ON.

Le point M se rapproche de plus en plus du point A; car on obtient les points M et N en décrivant un cercle du point D comme centre avec DO pour rayon; quand le point D s'éloigne indéfiniment, l'angle MOA tend vers un angle droit, et le point M vient en A. Il y a évidemment une partie symétrique de l'autre côté de l'axe