CHAPITRE XII

Sécantes communes a deux coniques.

332. Nous avons formé précédemment (n° 286) une équation du troisième degré.

donnant les valeurs de 1 pour lesquelles l'équation

représente deux droites. Nous nous proposons de montrer comment Ton peut, de la nature des racines de l'équation (i) appelée équation en X, déduire la nature des points communs aux deux coniques S = oS' = o. Nous nous servirons pour cela d'une méthode indiquée par M. Darboux qui se trouve reproduite dans l'excellent Traité de Géométrie analytique de M. Pruvost. Cette méthode repose sur les lemmes suivants. 1). Si l'équation

S = kx2 + iBxy + Gy2 + zVxz + zEyz + Yz2 = o représente deux droites concourantes ou parallèles, les coordonnées homogènes a, à, c du point de concours, situé à distance finie ou infinie, vérifient les conditions.

a2 ab P ac bc __ c2

En effet soient

P = wx -\-oy-\-wz = o , Q = u'x-\-vry-\-iv'z = o1 les équations des deux droites : Ton aura identiquement

S^PQ; d'où en prenant successivement les dérivées partielles des deux membres par rapport à x, y, z.

kx^By + Dz=l-(Vii'-\-Qu) B» + Cy + Es = i(Pt;'+Qy)

SÉCANTES COMMUNES A DEUX CONIQUES. 365 T>x + Ey + Fz = -(?w'+Qw).

Les coordonnées homogènes a, by c du point de concours des deux droites annulent les premiers membres P et Q des équations des deux droites : elles vérifient donc les trois équations

Aa + Bb-\-Dc = o Ba + Cb + Ec = o Da + Eb+Fc = o d'où l'on déduit facilement

en multipliant le premier groupe de ces relations par a, lo deuxième par b, le troisième par c, on obtient les relations (2) à démontrer.

Conséquences. L'équation S = o représentant deux droites, le discriminant A est nul et l'équation (1) a une racine nulle. Si Ton a en outre 0 = 0, cette racine nulle est double : et alors, le point de concours des droites P — 0, Q = o qui forment la conique S se trouve sur S'. En effet on a

S = A'a + 2B'b + Ce + sD'd + aE'e + F'f . D'après les relations (2), la condition ®=o, dans laquelle on remplace a, b, c, etc., par les quantités proportionnelles a2, zab, b2, . . , devient

A'a2 -f zB'ab + Gc* + zWac + 2E' bc + F V = 0, condition qui exprime que le point (a, b, c) est sur la conique S' = o.

2) Si, outre les conditions A = 0, O = 0, l'on a encore 8' = 0,. l'une des deux droites dans lesquelles se décompose la conique S = 0 est tangente à S7. Dans ce cas l'équation (1) a une racine triple nulle.

L'identité

S = PQ = (ux -\-vy-\- wz) {v!x -f- v'y -f- w'z) donne

A=wm', 2B = wt/ + vw', C = iw',

et, puisque

e,=Aa,+2Bb,+Gc,+2Dd/+2Ee'+Ff, la condition & = o devient a' ww' + b' (uvf + vm') -f- c'w' -f- d' (ww' + wu') -f- e' ( w' -f- wt/) -f- fw;tt/ = o;

elle exprime que le pôle de Tune des droites P = o, Q=o par rapport à S' se trouve sur l'autre (n° 296), c'est-à-dire que ces deux droites sont conjuguées par rapport à la conique S' = o. Gomme leur point d'intersection est situé sur cette même conique, Tune de ces droites lui est nécessairement tangente.

333. Nous venons d'examiner ce qui se passe quand la conique S = 0 est formée de deux droites ; nous allons ramener le cas général à celui-là. Pour cela, supposons les coniques S et S7 quelconques et appelons \i une racine de l'équation (1). La conique

S + X1S'=o sera décomposée en deux droites Pt = 0 et Qi =0. Posons

(3) s+^s^s, , as'+ps,=s;

a et p étant deux constantes quelconques assujetties à la condition de ne pas annuler la quantité ((3 — aX4) déterminant des coefficients de S et S' dans les relations (3). Alors St = o est l'équation du couple de sécantes communes aux coniques S = oS' = o qui correspond à la racine X=Xt , et S't = o est l'équation d'une conique quelconque, distincte de St = 0, passaut par les points d'intersection des coniques données S = o., S/ = o. Comme les identités (3) résolues par rapport à S et 'S' donnent

(p-cûOS^St-^s; 0-oAO S^-aS. + S;;

l'équation générale S -}- XS'= o peut s'écrire

St»-oA) + S;(X-X1) = o

ou S, +1^=0,

en posant

r p — Xa

Ainsi, [/. étant lié à X par la relation (4), les deux équations

S-f-XS'=o 3 S1+[xS'1 = o

représentent la même conique. Si l'on cherche les valeurs de f/. pour lesquelles cette conique se réduit à deux droites, on obtient une équation du troisième degré en (/..

(5) A1 + 0llx + e>«+Ay = o-

dans laquelle A^o puisque S4 est décomposée en deux droites. Il résulte de la relation (4) qu'à la racine \=\ de l'équation (1) correspond la racine f/. = o de l'équation (5) avec le même degré de multiplicité.

Si la racine \ est simple, la racine p = o est simple aussi, @4 est donc différent de zéro et le point de concours des droites représentées par l'équation Si = o n'est pas sur la conique S'%.

Si la racine \ est double, la racine |/. = o de l'équation (5) sera double, Oâ sera nul et le point de concours des deux droites S^o sera sur la conique S\. Il peut arriver, comme cas particulier, que tous les mineurs de A4 soient nuls, alors <dt est nul quelle que soit la conique S'l9 la conique 84 = 0 se réduit à une droite double.

Enfin, si la racine Xâ est triple, la racine \l= 0 de l'équation (5) sera triple également, 0A et S't seront nuls ; le point de concours des droites St = 0 sera sur S'4 et l'une de ces droites sera tangente à S'f. Il peut arriver, comme cas particulier, que tous les mineurs de Aâ soient nuls, alors la conique St = o se réduit à une droite double tangente à S't.

Ceci posé appelons Xt, X2, X3, les trois racines de l'équation (1) en X.

i°) Si ces racines sont inégales, chaque couple de sécantes est formé de deux droites distinctes, dont le point de concours

n'est situé sur aucune des coniques données : ces coniques se coupent donc en quatre points distincts.

Pour voir combien de ces points sont réels, on a recours aux considérations suivantes :

a) Les trois racines lly X2, X3, sont réelles et les couples de sécantes correspondant à deux d'entre elles sont réels : ces deux couples de droites réelles se coupent en quatre points réels et distincts. Les quatre points d'intersection des coniques sont donc réels et distincts. Il est évident que le troisième couple de sécantes est réel aussi puisqu'il passe par les points d'intersection des deux coniques qui sont réels.

b) Les racines \, X2, X3 sont réelles, mais un seul couple de sécantes est réel. Alors les quatre points d'intersection sont imaginaires. En effet un couple de sécantes imaginaires à coefficients réels n'a qu'un point réel, le point de concours des sécantes ; ce point n'appartenant à aucune des coniques S ou S', les points d'intersection qui sont situés tous quatre sur ce couple imaginaire seront nécessairement imaginaires.

c) Une racine \ est réelle, les deux autres X2 et X3 sont imaginaires. Deux des points d'intersection sont réels et deux imaginaires. Eu effet si X2 est imaginaire X2 = p -\-iq, le couple correspondant.

S + (p+tj)S'=o

est formé de deux droites imaginaires, mais non imaginaires conjuguées. D'abord ce couple est formé de deux droites imaginaires, car si une de ces droites était réelle, les coordonnées d'un point de cette droite devraient annuler S -f pS' d'une part et le coefficient S' de i, d'autre part; c'est-à-dire S et S'; les deux coniques auraient donc une droite commune, ce qui est contre l'hypothèse. Ensuite le couple considéré n'est pas formé de droites imaginaires conjuguées : car s'il en était ainsi, le point de concours de ces droites serait réel, et ses coordonnées annuleraient à la fois les trois dérivées partielles de S + {p + iq) S' par rapport à x.yyz, c'est-à-dire les trois dérivées partielles de chacun des polynômes S et S'; les deux coniques S=oS' = o seraient deux couples de droites con-

courant au même point, ce qui est aussi contre l'hypothèse. Cela posé, le couple correspondant à la racine Xâ sera formé de deux droites ayant pour équations

P + iQ = o , R + tS = o, et celui qui correspond à la racine conjuguée X3 des deux droites

P — iQ=zo , R — iS = o.

Ces deux couples et, par suite, les deux coniques se coupent donc en deux points réels situés l'un à l'intersection des droites 'P = o, Q = o; l'autre à l'intersection des droites R— o, S = o. Les deux autres points d'intersection sont imaginaires, car sur une droite imaginaire il n'y a qu'un point réel.

2°) Si l'équation en X a une racine double \i et une racine simple X3, le point de concours Oi des deux droites supposées distinctes du couple

S1 = S + XiS' = o

correspondant à la racine double, se trouve sur les coniques S et S' et, plus généralement, sur toutes les coniques aS -f-p S' = o; le point de concours 03 des droites du couple

ne se trouve au contraire sur aucune de ces coniques autre que S3 lui-même. En particulier, le point Ot se trouve sur le couple S3, tandis que 03 ne se trouve pas sur le couple St. Les points d'intersection des deux couples de droites Si = o S3 = o et, par suite, ceux des deux coniques sont donc disposés de la façon suivante : deux de ces points sont confondus en Oi sur celle des droites D du couple S3 qui passe par ce point; les deux autres points A et B sont à l'intersection du couple S, avec la deuxième droite D' du couple S3. Les deux coniques S et S' sont tangentes en Ot à la droite D, et se coupent aux deux points A et B situés sur D'.

Gomme le couple Sâ = o est formé de deux droites distinctes, leur point de concours Ot, c'est-à-dire le point de contact des deux coniques est réel : le couple S3 contenant la tangente à

GÉOM. ANALYT. 24

ces coniques au point 04 est réel ; les points A et B seront réels ou imaginaires suivant que le couple St est réel ou imaginaire.

Si le couple Sf est formé d'une droite double, les points d'intersection des coniques sont confondus deux à deux aux points où la droite double rencontre les deux droites D et D' du couple S3 correspondant à la racine simple. Les deux coniques sont bitangentes : la droite double est la droite des contacts, et les deux droites D et D' sont les tangentes aux points de contact ; ces points de contact sont réels ou imaginaires suivant que le couple S3 est réel ou imaginaire.

3°) L'équation en X a une racine triple \. Si le couple qui correspond à cette racine est formé de deux droites distinctes, leur point de concours 0 se trouve sur les deux coniques et l'une des droites de ce couple est tangente aux deux coniques en 0. Les deux coniques se coupent donc en trois points confondus en 0 et en un autre point A : ces points 0 et A sont nécessairement réels. On dit, dans ce cas, que les deux coniques sont osculatrices en 0 .

Si le couple qui correspond a la racine triple X, est une droite double, cette droite doit passer par les points communs aux deux coniques et être tangente aux deux coniques : elle touchera les deux coniques en un même point 0. Les deux courbes se couperont donc en quatre points confondus avec 0 : on dit qu'elles sont suroscultatrices.

Si le couple correspondant à la racine triple Xt est indéterminé, les deux coniques se confondent.

Remarque. Cherchons dans quels cas l'équation en X est indéterminée : il faudrait pour cela que toutes les coniques représentées par l'équation

S + XS'=:0

fussent des systèmes de droites. On aurait alors à la fois

Les conditions A = o, A' — o montrent que les deux coniques doivent être des systèmes de droites. La condition © = o signifie que le point de concours 0 des droites représentées

par S = o est sur S' = o, et &=o signifie de même que le point de concours 0' des droites S'~o est sur S = o. Si les points 0 et 0' sont distincts, il résulte de là que la droite 0 0' doit appartenir aux deux coniques; si 0 coïncide avec 0' les deux coniques sont des couples de droites, concourant au même point. Réciproquement, si Tune de ces conditions est remplie l'équation en X est indéterminée. On a, en effet A = 0— ©'=A'=o. On peut encore vérifier directement que, dans ces deux cas, l'équation

S + XS'=o représente des droites quel que soit X. En effet si les coniques S et S' sont des systèmes de droites ayant une droite commune, on a identiquement

S = PQ , S, = PR P, Q, R étant des fonctions linéaires de x, y, z, et l'équation S -f-XS' = o devient

P(Q + XR) = o

elle représente deux droites.

Si S et S' sont des systèmes de droites concourant au même point : on a

S = PQ , S' = {aF + bQ){a'P + b'Q);

S + XS' est alors un polynôme homogène du second degré en P et Q et est, par suite, quel que soit X, décomposable en deux facteurs du premier degré

(aP + f>Q)(a'P + p'Q).

Exemple. Soit une conique qui rapportée à des axes rectangulaires a pour équation

S = kx2 + zBxy + Cy2 + zEy = o

c'est-à-dire est tangente à l'origine à l'axe 0#; on demande le rayon du cercle osculateur à cette conique à l'origine. Le cercle osculateur étant tangent à l'axe 0#,son équation sera

L'équation S -f- XS' = o sera donc

(A + X) x2 + 2Bxy + (C + X) */2 + 2 (E + XR)y = o. En égalant le discriminant de ce polynôme à zéro, on obtient l'équation en x

(A + ).)(E + XR)» = o

qui admet, quel que soit R, la racine double \ — — - et la racine

simple >3 = — A. Pour que les deux courbes soient osculatrices, il faut et il suffit que l'équation en X ait une racine triple, c'est-à-dire que >â = >s ou

L'ordonnée du centre du cercle oscuîateur est donc — ~ et le rayon de

ce cercle est la valeur absolue de — . Ce rayon est appelé rayon de courbure de la conique à l'origine.

Si nous supposons

le cercle est oscuîateur : pour qu'il soit surosculateur, il faut et il suffit que le couple de sécantes correspondant à la racine triple

soit une droite double. Or, ce couple est

2/2(G — A) + 2Bay = o;

pour qu'il soit une droite double, il faut et il suffit B = o. Alors l'équation de la conique devient

Ax2 +' Cy2 + 2Ey = o

et l'origine est un sommet. C'est donc seulement aux sommets d'une conique que le cercle oscuîateur devient surosculateur.

Théorème. Les racines de Y équation en X restent les mêmes quand on rapporte les deux coniques S et S' à d'aufres axes coordonnés.

En effet, supposons que Ton rapporte les deux coniques S~o , S'=o a d'autres axes coordonnés Oix^ 0^. Les formules du changement de coordonnées donneront

x = axi -f- byv -f- czi (6) y = a'xl + b'yi + c'zi.

Z = Zt

et, par la substitution de ces valeurs dans les équations des deux coniques, on aura

S=A1^1a + 2B1^?/1 + C1?/12 + 2D1^1zi + 2E1?/1z1+F1212 = o S/ = A>12+ . . . +F1*11-S°.

L'équation

S + XS' = o deviendra donc

Pour que la conique S -f- X S' = o se décompose en deux droites, il faut et il suffit que le discriminant de ce polynôme en xi9yi9 zi soit nul, ce qui donne pour déterminer X une nouvelle équation du troisième degré

Cette équation admet les mêmes racines que l'équation (1). Cela résulte de ce que Tune et l'autre des équations (1) et (7) donnent les valeurs de X pour lesquelles l'équation S -\- XS/ = 0 représente deux droites. Si l'équation (1) a ses trois racines distinctes, l'équation (7) aura les mêmes racines et par suite on aura

ces relations seront identiques si l'on y remplace les coefficients A15 A'lt B15 B'4 . . . F15 F\ par leurs expressions en fonction de A, A', B, B', . . . F, F'; elles subsisteront donc encore quand Y une des équations (1) ou (7) aura des racines multiples. Donc, dans tous les cas, ces deux équations ont les mêmes racines.

EXERCICES

1. Soit Mi (xuyx) un point pris sur une conique ayant pour équation f(x, y) — o. Démontrer

10 Que l'équation générale des coniques osculatrices à la conique f= o au point Mt est

f C*> y) + 0 (* - ^i) + v.{v — Vi)] (xf'ri + vfvi + f'n ) = °>

X et {x désignant deux paramètres variables.

20 Que l'équation générale des coniques surosculatrices à la coniqK f=oau même point est

f{x,y)+l[xfsl + Vfii + f*i]*'=o,

> désignant un paramètre variable.

a. Les hyperboles équilatères qui sont osculatrices en un point Mt à une conique donnée f= o passent par un point fixe P. On demande

i° Le lieu du centre de ces hyperboles équilatères.

2° Le lieu du point P quand le point M, décrit la conique f= o.

3. Placer deux paraboles égales dont les axes sont rectangulaires, de façon qu'elles soient osculatrices.

4- Étant donnés une parabole et un cercle passant par le foyer, trouver où doit être le centre du cercle pour qu'il ait avec la parabole quatre points d'intersection réels, ou deux points réels et deux imaginaires ou quatre points imaginaires. On étudiera la forme et les propriétés de la courbe qui sépare ces différentes régions (École polytechnique, i865).