RELATIONS ENTRE LES» RACINES DE L'ÉQUATION EN A

Soient S = Ax2 + zBxy + Cy2 + zBxz + iEyz -f Fz2 = o, S' = A!x* + zB'xy + C'y9 + zWxz + lEIyz + Yz2 = o,

les équations de deux coniques que l'on a rendues homogènes

se y

en remplaçant x et y par - - et multipliant par z2. Les valeurs

de X pour lesquelles l'équation

S + XS' = o

représente deux droites, sont données par l'équation du troisième degré

(i) A + ex + ©'X» + A'X8 = o.

Nous avons vu précédemment que les racines de cette

SÉCANTES COMMUNES k DEUX CONIQUES. 375

équation restent les mêmes quand on rapporte les coniques S et S' à d'autres axes. Supposons, plus généralement, que l'on désigne par a, p, y trois fonctions linéaires de x, y, z.

a=ax -\-by -\-cz

qui égalées à zéro représentent trois droites non concourantes; on pourra alors tirer de ces équations x, y, z en fonction linéaire homogène de a, p, y

x = h -\-m$ -f- ny

(3) y = r*+m'$ + ri<(

z = l»0LJrm''p-\-ri'y;

en substituant ces valeurs dans les équations des deux coniques, on mettra ces équations sous la forme

S~A1a2+2B1ap+Cip2 + 2D1ocp + 2E1(5ï+F1Y2=o

s' = a>2 + aB>p + c;p2 + 2D>Y + 2e;py + f; r2 = o

et l'équation S + AS' = 0 deviendra

(A, + XA>2 + a(B4 + XB>p + . . . = 0.

Pour que la conique S-|-XS' = o se décompose en deux droites, il faut et il suffit que ce nouveau polynôme homogène en a, p, y se décompose en deux facteurs du premier degré, c'est-à-dire que son discriminant

(Ai+XA'I)(C1+XC,,)(F1+XF1) + ....

soit nul. L'on a ainsi, pour déterminer A une nouvelle équation du troisième degré

<4) A1 + 0Ix + e'1x2 + A;x8=:o.

Cette équation admet encore les mêmes racines que ï équation (1). Cela résulte évidemment de ce que Tune et l'autre des équations (1) et (4) donnent les valeurs de X pour lesquelles l'équation S + XS' = 0 représente deux droites. Si la première équation a trois racines distinctes, la seconde aura les mêmes racines. Donc

ces relations seront des identités si Ton y remplace les coefficients A15 A'^Bj, Ev . . . par leurs expressions en fonction de A, A', B, B', . . etc. ; elles subsistent donc encore lorsque l'équation (1) a des racines multiples. Donc, dans tous les cas, les équations (1) et (4) ont les mêmes racines.

Voyons enfin comment varient les racines de l'équation en X quand on multiplie tous les coefficients de l'équation S = o par un facteur constant K et tous ceux de S' = o par un facteur constant K'. Alors les équations des deux coniques deviennent

KS = o, K'S' = o

et l'équation générale des coniques passant par leurs points d'intersection devient

KS + X'K,S/ = o, équation qui est identique à S + XS' = o si l'on pose X=-rr, X.

Donc, pour avoir les valeurs de X' pour lesquelles l'équation KS 4~ X'K'S' = o représente deux droites, il suffira de prendre les trois racines de l'équation (i) en X et de les multiplier par

le facteur ==-, •

En résumé, si l'on transforme les équations des deux coniques en y remplaçant x, y, z par des expression telles que (3) (c'est-à-dire en les rapportant à un triangle de référence quelconque), et si l'on multiplie les équations des deux coniques par des facteurs constants, les racines de V équation en X restent les mêmes, ou sont multipliées par un même facteur.

On en conclut que :

Une relation homogène entre les racines de l'équation en X exprime une propriété des deux coniques indépendante du choix des axes coordonnés ou, plus généralement, du choix des fonctions linéaires «, p, y, c'est-à-dire du triangle de référence. Car, si une pareille relation a lieu quand les axes ou les fonctions a, p, y ont été choisis d'une certaine façon, elle subsistera pour tout autre système d'axes ou de fonctions linéaires a, p, y.

Par exemple, si l'on appelle X1? X2, X3 les trois racines de

Féquation en X, la relation X£ — X2 = o ou, plus symétriquement,

(K — h)' &* — **)* &z-*iY = <>> qui est homogène et du second degré en Xn X2, X3 exprime que l'équation en X a une racine double; c'est-à-dire que les deux coniques sont tangentes.

Nous allons chercher la signification de quelques autres relations simples.

I. La relation \ + X2 + X3 = o ou & = o est la condition nécessaire et suffisante pour quil existe un triangle inscrit dans la conique S et conjugué par rapport à S'. Lorsqu'il existe un de ces triangles , il en existe une infinité*

Fig. a.

Pour le démontrer, supposons qu'il existe un triangle inscrit dans S et conjugué à S'. Alors en appelant

les équations des côtés de ce triangle, l'équation de la conique S sera

S = 2Ba(3 -f • 2Day + 2E(3y = 0,

et celle de S'

On voit immédiatement en égalant à zéro le discriminant du polynôme S + XS' que Ton a une équation en X

2BDE- X(A'E2 + CD2 + F'B2)+ X8A'C'F = o dans laquelle le coefficient 6' de X2 est nul. Donc la condition

*i + ^2 + X3 ==o est nécessaire. Inversement, si cette condition est remplie pour deux coniques S et S' dont la seconde S' n'est pas décomposée en droites, il existe une infinité de triangles inscrits dans S et conjugués à S'. En effet, prenons un point P sur la conique S etjla polaire de ce point par rapport à S' (fig. a) : cette polaire coupe la conique S' en deux points M et M' et la conique S au moins en un point Q ; soit R le conjugué harmonique du point Q par rapport aux deux points M et M', nous allons montrer que ce point R appartient aussi à la conique S. Le triangle PQR étant conjugué par rapport à la conique S', l'équation de cette conique sera

S/ = A/a1 + G,pa+F'Y1=-:o

en appelant a = o, p = o, y = o les équations des côtés QR, RP, PQ du triangle. Quant à la conique S, elle passe par le point P insersection des côtés p = o, y = o, et le point Q intersection des côtés y = o, a = o; son équation sera donc de la forme

S = Aa2 + aBap + 2DaT + 2Epy = o.

En formant le discriminant du polynôme S +• XS' on trouve pour coefficient de X2