AC'F

Comme ce coefficient doit être nul et que ni C ni F' ne peuvent être nuls, car la conique S' se réduirait à deux droites, on a A = o, et la conique S est circonscrite au triangle PQR conjugué à S'; c'est ce que nous voulions établir.

IL La même relation X£ -f- X2 + À3 = o ou & = o est la condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe un triangle circonscrit à la conique S' et conjugué par rapport à S. Lorsqu'il existe un de ces triangles, il en existe une infinité.

En effet, s'il existe un de ces triangles et si l'on appelle a, p, y les premiers membres des équations des côtés de ce triangle, l'équation de S sera

S = Aa2 + Cf2 + FY2 et celle de S' (n° 282 bis)

S' = p2oc2 -f- q2fi2 + ?>2Y2 — 257$ y — 2rpyu — 2pqaÇ> = 0.

En formant le coefficient & de X2 dans le discriminant de S + *S' on verra immédiatement que ce coefficient est nul ; la condition -Xi + X2 -f-X3 = o est donc nécessaire. Inversement, supposons cette condition remplie; prenons une tangente quelconque TT, a = o, à la conique S' et son pôle P' par rapport à S; de ce pôle on peut mener deux tangentes P'T et PT à la conique S et une tangente au moins P'Q' à la conique S'. Appelons y = o l'équation de cette dernière droite P'Q' et p = o l'équation de sa conjuguée P'R' par rapport au système des deux tangentes P'T et P'T'. Alors le triangle formé par les trois droites a = o, ,6 = o, y=zo sera conjugué à S et deux de ses côtés a = o, y = o seront tangents à S' ; nous allons montrer que le troisième côté p — o est aussi tangent à S'. Les équations des deux coniques pourront s'écrire :

S = A<x2 + Cp2+Fy2^o S' = p2<*2 + £2p2 + r Y — zqrfy + aD'ocy — ipqtf = o ;

car le premier membre de l'équation de S' doit se réduire à un carré parfait pour a = o et pour y = o. Le coefficient & de X2 dans le discriminant de S + XS' est C(p2r2 — D'2), et ce coefficient doit être nul. On ne peut pas avoir G = o car si G était nul, la conique S serait réduite à deux droites; on ne peut pas avoir D' = pr, car pour cette valeur de D' on aurait

S/ = (pa— qP + ry)2

et la conique S' serait une droite double. Donc on a D' = — pr, et la conique S' est inscrite dans le triangle P'Q'R' conjugué à S.

Remarque. Lorsque la conique S est circonscrite à un triangle conjugué à S', on dit, pour abréger, que S est harmoniquement circonscrite à S' ; alors, d'après ce qui précède, la conique S' est aussi inscrite dans un triangle conjugué à S et Ton dit que S' est harmoniquement inscrite dans S.

Exemple. Étant donné un triangle, il existe toujours un cercle réel ou imaginaire par rapport auquel le triangle est conjugué. En effet, en appelant a = o, P = o, y = o, les équations des côtés du triangle, l'équation générale des coniques conjuguées au triangle est

Aa2 + Cf + Fï8 = o.

En exprimant que cette équation représente un cercle, on aura deux équations du premier degré déterminant les rapports des coefficients A G,. F, à l'un d'entre eux. Le cercle ainsi obtenu s'appelle cercle conjugué au triangle ; il a pour centre le point de concours des hauteurs du triangle, car, si d'un point on abaisse une perpendiculaire sur sa polaire par rapport à un cercle, cette perpendiculaire passe par le centre du cercle.

Gela posé, nous allons démontrer le théorème suivant :

Lorsqu'une conique est inscrite dans un triangle, la puissance du centre de la conique par rapport au cercle conjugué au triangle est égale à la somme algébrique des carrés des axes de la conique.

En effet rapportons la conique à ses axes et soit

S' = A'£2 + C'?/2 — A'C = o l'équation de la conique, A' et G' désignant les carrés des longueurs des axes. Soit, d'autre part,

S = x2 + î/2 + sD# + 2Ey + F =±= o

l'équation du cercle conjugué au triangle. Alors la conique S' sera inscrite dans un triangle conjugué à S : donc si l'on forme le discriminant du polynôme S + *S', le coefficient 6' de X2 doit être nul. On ce coefficient est A' G' (F — A' — G') ; comme A' et G' sont différente de zéro, on a

ce qui démontre le théorème.

III. La condition nécessaire et suffisante pour quil existe un triangle inscrit dans une conique S et circonscrit à une conique ST est

ou V + V + V — ^1*2 ~ 2X2X3 — 2X3)4 = 0

ou ^±^±^ = 0;

s'il existe un tel triangle, il en existe une infinité.

Appelons <x = o, p = o, y = o les équations des côtés d'un triangle inscrit dans S et circonscrit à S'. Les équations des deux coniques pourront s'écrire

S = 2B06 + 2DaT + aEfty = 0, S' = pV + q*Ç>* + r*f — 2q)f y — 2r/rça — 2pqtf = ol

Si l'on forme le discriminant de S -\~ XS'; on voit que les coefficients de X3, X2, X sont

O' = fyqr (Ep + Dq -f Br),

9= — (Ep + Dj+Br)8.

L'on a donc @'2 — 4©A' = o, relation que Ton peut écrire d'après les relations entre les coefficients et les racines

ou (5) Xt2 + A22 -f-X32 — 2X^2 — 2X2X3 — 2X3Xi =0.

Cette dernière relation étant homogène par rapport aux racines de l'équation en X aura lieu, comme nous l'avons vu, quelle que soit la façon dont on écrit les équations des deux coniques. On vérifiera facilement que cette relation est équivalente à Tune des suivantes

Réciproquement, si cette relation (5) a lieu, il existe une infinité de triangles inscrits dans S et circonscrits à S'. On le démontrera en suivant une marche entièrement semblable à celle que nous avons employée pour les propositions I et IL

Exemple I. Considérons deux ellipses de même centre et de mêmes axes ayant pour équations

Les valeurs de X pour lesquelles l'équation S + XS' = o représente deux droites sont

donc la condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe un triangle inscrit dans S et circonscrit à S' est

a b Exemple II. Soient encore les deux cercles ayant pour équations S = a;2 + ?/2 — R2 = o , S' = {x — d)2 + y2 — r2 = o ; ies coefficients de l'équation en X sont

la condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe un triangle inscrit dans S et circonscrit à S' est donc

ou en réduisant

d2- R2=:dr2rR,

relation élémentaire bien connue entre les rayons et la distance des centres de deux cercles l'un circonscrit, l'autre inscrit ou ex-inscrit à un triangle.

EXERCICES

1. Démontrer que le cercle conjugué à un triangle est réel quand le triangle a un angle obtus, imaginaire dans le cas contraire.

2. Le lieu des centres des coniques inscrites dans un triangle donné et telles que la somme des carrés de leurs axes est constante, est un cercle ayant pour centre le point de concours des hauteurs.

3. Lorsqu'un triangle est circonscrit à une parabole, le point de concours des hauteurs est sur la directrice.

4. Lorsqu'un triangle est inscrit dans une hyperbole équilatère, le point de concours des hauteurs est sur la courbe.

(Dans ces deux exercices, on considère le point de concours des hauteurs comme le centre du cercle conjugué au triangle).