Les équations de deux coniques étant mises sous la forme
quelles relations doit-il y avoir entre les coefficients i° Pour que S soit harmoniquement circonscrite à S', 20 Pour que S soit circonscrite à un triangle circonscrit à S'.
7. Deux coniques S et S' sont tangentes entre elles en un point M; démontrer que la condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe un triangle inscrit dans S et circonscrit à S' est que le rayon de
APPLICATION DES PROPRIETES DES POLYNOMES, ETC. 383
courbure de S' au point M soit égal au quadruple de celui de S au môme point.
Cas particulier. Si un cercle passant par le foyer d'une parabole est tangent à la parabole en un point M, le rayon de courbure de la parabole en M est quadruple de celui du cercle.
8. On considère un triangle ABC et le cercle circonscrit : il existe une conique tangente aux trois côtés du triangle et tangente au cercle circonscrit en un point donné M.
i° Trouver le centre du cercle osculateur à cette conique en M. 2° Trouver le lieu de ce centre quand le point M décrit le cercle circonscrit.
9. Quelle relation doit-il y avoir entre les racines de l'équation en X pour qu'il existe un quadrilatère inscrit dans la conique S et circonscrit à la conique S'?
S'il existe un de ces quadrilatères il en existe une infinité. On appliquera en particulier la relation trouvée au cas où les coniques seraient deux cereles (Voyez n° 109).
10. Soit une ellipse E dont le grand axe et la distance focale sont respectivement égaux à 2a et à 20. D'un des foyers F de cette ellipse comme centre, on décrit une circonférence de cercle G ayant pour rayon v/2 (a2 + c2). D'un point quelconque P4 de la circonférence G, on mène une tangente Pt Pa à l'ellipse ; du point P2 où elle rencontre de nouveau la circonférence G, on mène à l'ellipse une deuxième tangente P2 P3, enfin du point P8 où cette deuxième tangente rencontre la circonférence G, on mène à l'ellipse une troisième tangente P3 P4 rencontrant la circonférence au point P4. On demande de démontrer que la deuxième des tangentes à l'ellipse issues du point P4 passe par le point initial P4. (École Normale i885).
APPLICATION DES PROPRIÉTÉS DES POLYNOMES HOMOGÈNES A LA THÉORIE DES COURBES DU SECOND DEGRÉ.
Soit f{x,y,z) = A#2 + sBxy + Gy2 + zVxz -f zEyz + F*2
un polynôme homogène du second degré en x,y,z. L'on sait que, si le discriminant A est différent de zéro, le polynôme f est décomposable en une somme de trois carrés linéairement indépendants, si ce discriminant est nul sans que tous ses mineurs le soient, le polynôme est décomposable en une somme de deux carrés linéairement indépendants ; enfin si
tous les mineurs du discriminant sont nuls, le polynôme est un carré parfait ; les réciproques sont vraies. i°) Supposons que le discriminant
A = AGF — AE2 — CD2 — FB2 + aBDE
soit nul ainsi que tous ses mineurs a, b, c, d, e, f. Alors le polynôme /'est le carré d'une fonction linéaire
f{x,y,z) = a{Jx-\- my + nz)2
a étant une constante positive ou négative; et en désignant la fonction lx-\-my-\- nz par a, on a identiquement f'x = 2afa} fy=2ama, f's= ïam. Dans ce cas, si l'on considère x, y et z comme les coordonnées homogènes d'un point, l'équation
représente deux droites confondues avec la droite lx-\-my-\nz = o et les trois équations
fx=* > fy = ° > A = °
représentent cette même droite ou sont des identités comme, par exemple, l'équation fg = o quand n = o.
2°) Supposons le discriminant A nul sans que tous ses mineurs le soient. Alors le polynôme f est décomposable en une somme de deux carrés linéairement indépendants
(i) f(x,y,z) = m* + bf
où a et b désignent des constantes et a et p des fonctions linéaires homogènes de x, y, z
a = lx -[- my -\- nz, (3 = l'x -f- m'y -(- riz.
Dire que ces fonctions sont linéairement indépendantes, c'est dire qu'il n'existe pas deux facteurs constants k et k' non nuls tous deux et tels que ka -f- A'p soit nul identiquement. L'on peut mettre le polynôme /"sous la forme (i) d'une infinité de manières ; nous allons montrer comment on peut les obtenir toutes. L'identité (i) peut s'écrire
ou
f(x,y,z) = -pQ
