APPLICATIONS DES PROPRIÉTÉS DES POLYNOMES, ETC

P et Q désignant deux fonctions linéaires homogènes de x, ?/, % linéairement indépendantes. Ces deux fonctions linéaires sont aisées à trouver; en effet, si les trois coefficients À, G, F ne sont pas nuls tous trois, le polynôme f sera un trinôme du second degré par rapport à #, ?/, ou z et on pourra décomposer ce trinôme en facteurs de premier degré qui seront P et Q; si A, Cet F. sont nuls, le discriminant se réduit à 2BDE et comme il est nul, un au moins des-trois coefficients B, D, E est nul aussi, et alors une des trois variables x, y, ou z se trouve en facteur; la décomposition est immédiate. Ayant ainsi mis le polynôme sous la forme PQ, on aura toutes les décompositions possibles en une somme de deux carrés, en remarquant que l'on a identiquement

W A*. y>, *) = PQ = 4^ [(xp + f^Q)2 - (*p - i*Q)f]

où X et p. désignent des coefficients constants différents de zéro. En faisant varier À et p on a une infinité de décomposition de /'en deux carrés : on les a toutes, car si Ton imagine une décomposition quelconque

f= a^S + b#* = {^\/7x + h \/^Tl) («V^ - Pi s/^)

dans laquelle a^pi sont des fonctions linéaires, at et bi des constantes, on devra avoir identiquement

d'où en désignant par k une constante

«iV/^ + PiV/:=Â"=*P

et enfin

expression qui rentre bien dans la formule (2) en supposant k

GKOAf. ATnALYT. 25

Les valeurs de x> y, z

x = xA , y = yt , z = zt qui annulent simultanément les fonctions linéaires P et Q et? par suite, les fonctions a et (3 qui sont égales à XP-j-pQ et XP — jaQ, annulent les trois dérivées partielles f'x , fy , fc.

Si l'on suppose les coefficients du polynôme /réels, les facteurs P et Q peuvent être réels ou imaginaires. Pour obtenir,, dans la décomposition (2), des carrés à coefficients réels, il faudra, si P et Q sont réels prendre X et p réels; alors l'un' des carrés qui figurent dans la formule (2) a un coefficient négatif l'autre un coefficient positif; si P et Q sont imaginaires, on pourra faire, puisque leur produit est réel,

P = p + ï0 , Q = k(p — iq) h désignant une constante réelle, p et q des fonctions linéaires réelles ; on prendra alors X=fe (X' -j- t'y!) , y. = X' — \t!i et Ton aura

où les deux carrés ont le même signe qui est celui de h%

L'interprétation géométrique de ces résultats est bien facile. En considérant x> y, z comme les coordonnées homogènes d'un point, on voit que l'identité f(x, y, z) =PQ montre que l'équation f= o représente deux droites distinctes, réelles ou imaginaires. Si zi est différent de zéro, les deux droites se coupent au point dont les coordonnées cartésiennes sont

-* , — ; les droites

a = AP + fAQ = o , P = XP — f*Q = o passent par ce point et sont conjuguées harmoniques par rapport aux droites V = 0 et Q = 0. Si zi est nul sans que l'une des fonctions P et Q se réduise à la forme nz, les deux droites

sont parallèles et ont pour coefficient angulaire commun — .

Les droites a = o, p = 0 sont parallèles à la même direction

et sont conjuguées harmoniques par rapport aux droites P = o

Q — o; Ton a identiquement, dans le cas actuel,