APPLICATIONS DES PROPRIÉTÉS DES POLYNOMES, ETC

P =; mQ -f- nz

m et n étant des constantes; si donc Ton fait m\ = — y., la droite a = o. devient la droite de l'infini et la conjuguée p= o devient la droite équidistante des droites parallèles P = o,

2»? Q + nz = o ;

comme f(x, y, z) = PQ = (mQ -f- nz) Q les deux équations

£ = Q;(amQ+nz) = o f'v = Qy (2mQ + nz) = o

représentent cette même droite, à moins que Tune d'elles ne soit identique, ce qui arriverait par exemple, si la constante Qy était nulle.

Enfin, si Tune des deux fonctions P ou Q, Q par exemple, était de la forme nz, la droite Q = o serait rejetée à l'infini, l'équation f=o représenterait une seule droite à distance finie P = o,et les deux droites a = o , (3 = 0 serait parallèles à cette droite unique et situées de part et d'autre à égale distance de cette droite.

5°) Supposons enfin le discriminant A différent de zéro. Dans ce cas, le polynôme f(x, y, z) pourra être décomposé en trois carrés linéairement indépendants.

(5) f(x,y,z) = a**+bp + cy*

où a,b,c désignent des constantes différentes de zéro et a,p,y des fonctions linéaires.

a = lx -f- my + wz, p = ïx -J- m'y -f- riz, y = ux -f- vy -j- wz telles que le déterminant

u v w soit diffé?*ent de zéro.

Pour obtenir toutes les décompositions de fen trois carrés sous la forme (3), remarquons que Von peut choisir arbitrairement l'une des trois fonction linéaires oc,(3,y, la fonction y par exemple ,- à condition que les coefficients u,v,w de cette fonction n'annulent pas le polynôme»

(4) 9 {u,v,w) = aw2 -f- nhuv -f- cv 2 -f- z&uw + 2ew# -|-fb .

En effet, u,v,w étant choisis arbitrairement, considérons la différence

F [œ,y,z) = f(x,y,z) —îrt*

où X est une constante : cette différence F est un polynôme homogène du second degré en x,y,z. Déterminons X de façon que le discriminant de F (x,y,z) soit nul ; nous aurons l'équation

A — lu2 B — luv D — luw

(5) B — luv G — lv2 E — lvw D — luiv E — Ivw F — lw2

dont le développement par rapport aux puissances de X s'obtient en faisant dans l'équation en X du n° 286

A' = — a1 , B' = — uv , C' = — v* , D' = -~uw , E' = —vw , F' = — m?2

et par suite A' = 0 , 0' = o , ®=—-cp(tt,«;,w), <p désignant le polynôme (4). L'équation (5) se réduit donc à l'équation du premier degré

qui détermine X quand 9 (u,v,w) n'est pas nul. Appelons c la valeur de X tirée de cette équation :

Le discriminant de la fonction F = f — ey2 étant nul, cette fonction peut se décomposer en une somme de deux carrés ; elle n'est pas un carré parfait a*2, car s'il en était ainsi on aurait

f(x,y,z) = cf + ay*>

la fonction /"serait une somme de deux carrés et son discriminant A serait nul, ce qui est contre l'hypothèse. Le polynôme F = f— cy2 étant décomposable en une somme de deux carrés, on pourra lui appliquer ce qui a été dit dans le numéro précédent et trouver toutes les façons possibles de le mettre sous la forme aa2 -f bp. A chacune de ces décompositions de

APPLICATIONS DES PROPRIETES DES POLYNOMES, ETC. 389

F(x,y,z) en deux carrés, correspondra une décomposition de f en trois carrés

/\= aa2 + 6p2 -f Cf,

y ayant été choisi arbitrairement.

Si Ton décompose F en deux facteurs

(6) F(x,y,z)=f-cf=?Q,

les valeurs x = xl , y—yt , z = zi qui annulent P et Q annulent a et (B, ainsi que les dérivées partielles F* , Yy , Fi. Comme

-F* — -fx — tav , -Fy = -fy-—cvy , -Fi = -/ï — ct0y ,

on a, en remplaçant x,y,z par xx,yi9zi9 et désignant par yt la quantité v#4 + vyt -j- io215

(7) -fxi — wiii-fv^wii i-/»i = cwïi-;

la constante y4 n'est pas nulle, car si elle Tétait, j"Xi , f"n , fZl seraient nuls tous trois et le discriminant A serait nul. On a alors identiquement

(8) ^(xfxi+yfii+*f*i) = cr(i »

et, en faisant, dans cette identité, x = xt 9y = yt , z=zi9et appliquant le théorème des fonctions homogènes

On en conclut

et, en remplaçant cy2 par cette expression dans l'indentité (6), on a, après avoir chassé le dénominateur ^f(xi9 yt, zx)

(9)4/,^^,2)A^îyi^il-(^i+»Ai+^,)ï=4PQA^.y«^i)..

Enfin, si dans la relation qui donne c cep (u,v ,w?) = A, on remplace, w,v,to par leurs expression tirées des relations (7)

tt = i& , » = i&, » = -&,

2 cyt 2 cyi 2 cTi

on a, puisque le polynôme cp est homogène,

et, en remplaçant cy^ par sa valeur f(xi9 y15 z4)

(io) çh/'.i »^/ïi » ^/*i)=A/(a?i»yi»*i)5

ce qui donne une identité remarquable.

Interprétation géométrique. En considérant x. y, z comme les coordonnées homogènes d'un point, on voit que l'équation f(x, y,z) = o représente une conique non réduite à deux droites, ellipse imaginaire ou réelle, hyperbole, parabole. L'identité

f(x,y,z) = a** + bp*+cf

donne le premier membre de l'équation de cette conique décomposé en une somme de trois carrés. Si les trois coefficients a,b,c sont de mêmes signes, la courbe est une ellipse imaginaire, sinon elle est une conique réelle : l'on sait d'ailleurs que, dans toutes les décompositions possibles de feu trois carrés, le nombre des coefficients a,b9c qui ont un signe déterminé est invariable. L'on peut prendre arbitrairement l'une des fonctions oc,p,y, par exemple la fonction y = ux + vy -(- wz, à condition que l'on n'ait pas <p (w,i;,tt?) = o, c'est-à-dire à condition que la droite y = o ne soit pas tangente à la conique (n° 126). Supposons cette condition remplie; on pourra écrire l'équation de la conique sous la forme

f(x, y, z) = cf + PQ=:o,

qui montre que P = oQ = o sont les équations des tangentes aux points où la droite y = o coupe la conique. Nous avons appelé #15 yn ziy les valeurs de x,y,z qui annulent P et Q, c'està-dire les coordonnées homogènes du point de concours des deux droites P = o , Q = 0 ; la droite y = 0 est la corde des contacts des tangentes issues de ce point ou la polaire de ce

APPLIGATIONS DES PROPRIÉTÉS DES POLYNOMES, ETC. 391 point; d'après l'identité (S), l'équation de cette droite peut

s'écrire ainsi

*£i + y/ïi+/ïi=o;

ce qui est bien l'équation de la polaire du point de coordonnées #„ y,, zt. D'après l'identité (9), l'équation PQ = o,qui représente l'ensemble des tangentes menées du point de coordonnées xi,ynzi à la conique.peut s'écrire

bf(x, y, z)f(xi,yi,zi) — (xfxi + yfi, -f zfHY = 0 .

Enfin l'identité (10) montre que la condition nécessaire et

suffisante pour que 9 (fxl, fyi9 f%i) soit nul est que ffo^y^zj

le soit et réciproquement; ce qui veut dire géométriquement

que la condition nécessaire et suffisante pour que la polaire

du point xi9yi,zi soit tangente à la courbe est que ce point

soit sur la courbe.

Les droites a — o,p = o passent par le point de concours

des tangentes P = o;Q = o et sont conjuguées harmoniques

par rapport à ces tangentes. Si zi est différent de zéro, les

deux droites P = oQ = o concourent en un point situé à dis-

x y tance finie, ayant pour coordonnées cartésiennes -1 , — . Si

zi Zi

zx = 0, ces deux droites sont parallèles à la direction de coef-

ficient angulaire —, ou l'une d'elles est à l'infini, ce qui arrive

quand l'une des fonctions P ou Q se réduit à la forme nz; dans

ce cas (zi = o), la droite y = oa pour équation

Xtfx + !/tfv = o,elle coïncide avec le diamètre conjugué de la direction des deux droites P = oQ = o, ou de celle des deux qui est à distance finie ; on peut dire que y = o est la polaire du point à l'infini (xi9yi9 0).

Ainsi, quand l'équation est mise sous la forme

f(x,y9z) = a** + bF + cyf*=o

la droite 7 = 0 est la polaire du point de concours des deux autres droites a = 0 , (3 = o ; comme la même chose a lieu jour les droites a = 0 et p = 0 , on voit que le triangle formé

par les trois droites a — o , ,8 = o , y = o est un triangle congué par rapport à la conique.

Application à la réduction de V équation du second degré, i . Supposons d'abord f différent de zéro ; alors on peut

i ; et Ton

prendre

c'est-à

-dire u-

trouve :

L'identité (6)

donne,

dans ce cas,