APPLICATIONS DES PROPRIÉTÉS DES POLYGONES, ETC

axes de coordonnées cartésiennes, l'équation delà conique prendra la forme réduite

2. Supposons f=o. Alors le mode précédent de réduction n'est plus applicable car 9 (0, 0, 1) = 0. Voici un second mode de réduction qui s'applique à tous les cas. On a vu qu'en appelant xi,yi,zi les coordonnées homogènes d'un point quelconque non situé sur la conique, on a l'identité

(if{x,y,z)f{œi,yi,zi) = {xf3Ci+yrvi+zfïiy + VQ, où P = o , Q = o sont les équations des tangentes menées du point (x\, yti zt) à la courbe. Prenons en particulier zi = o avec f(xt, yit 0) ^ o, et remarquons que

nous aurons

tf(^y,z)f(xi,yi,o) = (x1f: + yiQ2 + VQ'>

les droites P = o Q = o se coupant au pointa l'infini (co^y^ o)

sont parallèles entre elles, ou l'une d'elles est à l'infini. L'on

aura, par exemple,

Q = roP + wz,

où m est nul si Q est à l'infini. Alors l'équation /=o s'écrit

En y faisant z= 1 , on aura l'équation de la courbe en coordonnées cartésiennes ; puis, en prenant pour nouvel axe O'X' la droite xt /x' + y{ fy — o et pour axe O'Y' la droite P=o, on mettra l'équation sous la forme réduite

dans le cas particulier où la droite Q = o est à l'infini, on a

m = o , donc q = 0 , et l'on a la forme réduite spéciale

Y/2 + 2pX' = o

qui convient aux paraboles.

L'on pourra, en particulier, déterminer le rapport — de

façon que la droite

Xifx + yify = ° soit perpendiculaire sur P = 0; la première droite sera alors un axe de la conique et la seconde la tangente au sommet.