CHAPITRE PREMIER

t^onstruction des courbes en coordonnées i»ectiligne«.

334. La construction d'une courbe n'est autre chose que la représentation graphique de la marche d'une fonction réelle d'une seule variable, lorsqu'on fait varier d'une manière continue cette variable. Si l'on a calculé les valeurs de y qui répondent à diverses valeurs de x, on connaît un certain nombre de points de la courbe à construire. Mais ces points ne peuvent suffire, même pour un tracé grossier de la courbe, car on peut les réunir de bien des manières différentes ; et, d'ailleurs, il peut arriver qu'entre deux ordonnées, même très-rapprochées, la ccurbe ait des branches infinies. Il est donc indispensable de connaître préalablement, d'une manière générale, la marche de la fonction dont la courbe doit représenter les variations.

Lorsque l'équation est résolue par rapport à l'une des variables,?/ par exemple, on considère chacune des déterminations de y en particulier, et on examine entre quelles limites doit varier x pour que y reste réelle. Soient xQ et xi deux limites ; si la valeur de y reste finie dans cet intervalle, elle donne une branche finie de courbe ; si la valeur de y devient infinie pour une ou plusieurs valeurs intermédiaires a, #,... de la variable, on a diverses branches infinies, asymptotes aux droites qui correspondent aux valeurs de x qui rendent y infinie ; on subdivise alors l'intervalle de x0 à xx en plusieurs autres : un premier do x0 à a, etc., de manière que dans chacun d'eux l'ordonnée ne devienne pas infinie. On examinera ensuite comment varie y dans chacun des intervalles, par exemple quand x croit "îe x0 à a. Quelquefois on aperçoit immédiatement, d'après l'exprès-

sion de y, comment varie cette quantité ; mais le plus souvent il n'en est pas ainsi ; dans ce cas, on a recours à la dérivée. On sait en effet, que la variable x croissant à partir d'une certaine valeur, si la fonction reste finie, elle varie dans lu même sens, tant aue la dérivée conserve le même signe ; elle croît si la dérivée est positive ; elle décroît si la dérivée est négative. Soient «, p, y,... les valeurs successives de x comprises entre x0 et a, pour lesquelles la dérivée change de signe. La variable ^croissant de xQ à a, la dérivée conserve le même signe, par exemple le signe -\-, et la fonction croît ; de a à p, la dérivée est négative et la fonction décroît, etc. Nous avons démontré que le coefficient angulaire de la tangente en un point quelconque de la courbe est égal à la valeur de la dérivée en ce point. Ainsi, le sens dans lequel varie l'ordonnée de la courbe est indiqué par le coefficient angulaire de la tangente.

Lorsque la dérivée change de signe, de positive devenant négative, l'ordonnée cesse de croître pour décroître ensuite ; elle acquiert donc une valeur maximum. Si, au contraire, la dérivée de négative devient positive, l'ordonnée cesse de décroître pour croître ensuite ; elle acquiert donc une valeur minimum. Il faut remarquer que ces mots maximum et minimum ne doivent pas être pris avec leur sens absolu ; ils indiquent seulement la comparaison d'une valeur particulière de l'ordonnée avec les ordonnées voisines.

En général, la dérivée, restant finie et continue, change de signe en devenant nulle, et, par conséquent, les tangentes aux points dont les ordonnées ont des valeurs maxima et minima sont parallèles à l'axe OX. Toute valeur de x qui annule la dérivée ne donne pas nécessairement un maximum ou un minimum de l'ordonnée; on devra examiner si la dérivée change effectivement de signe : mais, dans tous les cas, la tangente est parallèle à Taxe OX.

338. Exemple I. La strophoïde définie au n° 23 a pour équation

si-

Quand x varie de o à — a, la valeur numérique de y augmente constamment de o à l'infini ; on obtient de la sorte les deux branches

infinies ON, ON' asymptotes à la droite HH' (Og. 18). Quand x varie de o à a, l'ordonnée y part de o pour revenir à o, en conservant des valeurs unies; elle commence donc par croître pour décroître ensuite, et, par conséquent, elle passe par un maximum ; mais on ne voit pas si dans l'intervalle la fonction n'éprouve pas plusieurs alternatives de croissance et de décroissance. La valeur positive de y a

pour dérivée

— x2 — ax + a2

Le numérateur s'annule pour deux valeurs de #, l'une xu positive et m oindre que a, l'autre négative. Quand x varie de o à xu la dérivée est positive, la fonction croît; de xt à a la dérivée est négative, la fonction décroît; l'ordonnée est maximum pour la valeur

%i =aL ,

égale au plus grand segment de la ligne a divisée en moyenne et extrême raison.

336. On détermine souvent la tangente en certains3 points de la courbe, ou, ce qui est la même chose, certaines valeurs particulières de la dérivée, sans avoir recours à l'expression générale de cette dérivée. Considérons, par exemple, lepoint O de la strophoïde; joignons ce point à un point voisin M ayant pour coordonnées x et y; le coefficient angulaire de la sécante

OM est égal au rapport - ; on aura le coefficient angulaire de

la tangente au point O, en cherchant la limite de ce rapport lorsqu'on fait tendre x vers zéro. Or, on a

quand x tend vers zéro, ce rapport a pour limite ± i. Les deux branches qui passent au point O ont pour tangentes en ce point les bissectrices des angles des axes. On obtiendrait la

tangente au point A en considérant le rapport — — — ; ce rapport augmentant indéfiniment lorsque x tend vers a, la tangente au point A est parallèle à l'axe OY.

337. Exemple II. Proposons-nous d'étudier les courbes représentées par l'équation y2 = Aœ3 + Bas2 4- Cx + D (on démontre que ces

courbes peuvent reproduire par la perspective toutes les courbes du troisième degré). On supposera le coeflicient A positif, sans quoi on changerait le sens de l'axe des a?. Il y a plusieurs cas à considérer : i° le polynôme du troisième degré a ses trois racines réelles et inégales; appelons a, b, c ces racines rangées par ordre de grandeur croissante ; on a

L'ordonnée est imaginaire quand x varie de — oo à a; réelle quand x varie de a à 6 ; imaginaire quand x varie de b à c ; réelle quand x varie de c h + go. La courbe se compose d'une boucle fermée et d'une brandie infinie (fig 206). 20 Lorsque les deux racines a et 6 deviennent égales, la boucle se réduit à un point a (fig. 207). 5° Lorsque

Fig. 208. Fig. 209. Fig. 210.

les deux racines b et c sont égales, la boucle se joint à la branche infinie en b (iig. 208). 4° Lorsque les trois racines a, 6, c sont égales, la courbe présente un point de rebroussement en a (fig. 209). 5° Enfin, si le polynôme du troisième degré n'a qu'une racine réelle a, la courbe a la forme indiquée dans la figure 210.

Le coefficient angulaire de la tangente est donné par la formule

5Aa2 + 2Ba + G __ 5Aa2 + 2Ba? + C V a^Aœ3 -f Bx2 + Cx + D ay

Dans le premier cas, le numérateur, qui est la dérivée du polynôme du troisième degré, s'annule pour une valeur 0! comprise entre a et 6, et pour une valeur bf comprise entre b et c; à la première correspond le maximum de l'ordonnée sur la boucle. Dans le troisième cas, le numérateur s annule pour la racine double 6; le dénominateur

398 LIVRE IV, CHAPITRE ï.

s'annulant aussi, la formule se présente sous la forme - et ne détermine plus les tangentes au point double b ; on les obtiendra en cherchant la limite \/A (b — a) du rapport — — -, quand x tend vers b.

338. Lorsque l'équation, supposée algébrique, n'est pas résolue, soit parce que cette résolution n'est pas possible, soit parce que l'on juge inutile de l'effectuer, on peut quelquefois, en s'appuyant sur les théorèmes concernant les racines des équations, construire la courbe.

On aperçoit immédiatement certaines propriétés de la courbe à l'inspection de l'équation. i° Lorsque l'équation ne renferme que des termes qui sont tous de degrés pairs, ou tous de degrés impairs, il est clair que, si elle est vérifiée par x =a, y = p, elle sera aussi vérifiée par x = — a, y = — p ; or, les deux points (a, p), ( — a, — p) sont placés symétriquement par rapport à l'origine ; donc ce point est centre de la courbe. 20 Si l'équation ne contient que des puissances paires de l'une des variables, y par exemple, les valeurs réelles de y, qui correspondent à une même valeur de x, sont deux à deux égales et de signes contraires; lorsque les axes sont rectangulaires, on en conclut que les points du lieu sont placés symétriquement par rapport à la droite OX, qui est un axe de la courbe. 3° Lorsque l'équation de la courbe ne change pas par le changement de x en y et de y en %, si l'équation est vérifiée par x=a, y=zfi} elle sera vérifiée également par #=p, y =a ; les deux points correspondants sont placés symétriquement par rapport à la bissectrice de l'angle YOX, qui est un axe de la courbe. On voit de même que, si l'équation ne change pas par le changement de a? en — y et de y en — x, la bissectrice de l'angle YOX' est un axe.

Soit f {x, y) = o l'équation de la courbe ; on sait que la dérivée y' est donnée par la formule yr= — -pr^i • L'exprès-

îy \X> y)

sion de y' contient à la fois les deux variables x et y ; elle donne le coefficient angulaire de la tangente en tout point dont on connaît les deux coordonnées, excepté aux points où les deux dérivées partielles s'annulent à la fois.

339. Exemple III. Construire le lieu des points tels que le produit de leurs distances à deux points fixes F, F', soit égal à un nombre donné.

Prenons pour origine le milieu 0 de la droite FF', cette droite pour axe des xf une perpendiculaire pour axe des y ; appelons 2C la distance FF7, a2 le produit constant, l'équation du lieu est

\) y* + a {x2 + c2) y2 + (as2 — c2)2 — a4 = o.

dette équation ne renfermant que des puissances paires de chacune des variables, chacun des axes est un axe de symétrie de la courbe, et l'origine est un centre. En considérant y2 comme l'inconnue, l'équation (i) est du second degré, le binôme B2 — /\kG se réduit ici à 4 (f\c2x2 + a4), quantité essentiellement positive : les racines sont donc toujours réelles. Lorsque le dernier terme [x2 — c2)2 — a4 est positif, les valeurs de y2 ont le même signe, et comme leur somme — 2 (x2 + c2) est négative, les deux valeurs de y2 sont négatives et les quatre valeurs de y imaginaires. Pour que l'équation (1) ait des racines réelles, il faut donc que Ton ait

(œ*--c*)* — a*<o, ou (#2 — c2~a2)(#2--c2 + a2)<o,

et, par conséquent,

x2< a2 + c2 et #2 > c2 — a2.

Alors une des valeurs de y2 est positive, l'autre négative.

Prenons OA = OA' = \J a2 4- c2 ; la courbe est comprise entre les parallèles à l'axe des y menées par les points A et A'. La seconde condition exige que Ton distingue plusieurs cas.

et par les points B et B menons des parallèles à OY (fig. 211) : la courbe se compose de deux parties, comprises, l'une entre les parallèles menées par les points B et A, l'autre entre les parallèles menées par les points B' et A'. Quand on donne à x Tune des valeurs OB ou OA, Tune des valeurs de y2 est nulle, l'autre négative ; x

Fig. 2ii.

croissant de OB à OA, la valeur de y2, qui d'abord est nulle, devient positive et s'annule de

i° a < c. Prenons OB = OB' = ^/c2^

nouveau; on obtient ainsi une courbe fermée BGAD. Les valeurs négatives de x donnent une seconde courbe B'C'A'D, égale à la précédente. Le coefficient angulaire de la tangente est déterminé par la formule

ir = -

Aux points A et B, y est nulle et y' infinie, la tangente est parallèle à l'axe OY. Le numérateur de y' devient nul, quand on a x2 + y2 = c2. Du point 0 comme centre, avec OF pour rayon, décrivons un cercle. Ce cercle coupe la courbe en quatre points G, D, C, D', donnés par les formules

Comme l'arc BG est intérieur au cercle, en l'un des points quelconques de cet arc, la fonction x2 -f- y2 — • c2 a une valeur négative et y' est positive. Pour les points de l'arc CA, le facteur x2 + y2 — c2 est positif et y' négative. Ainsi, de B en C, l'ordonnée croît, et de C en A elle décroît ; l'ordonnée du point C est maximum.

a® a = c. La seconde condition est satisfaite, quelle que soit x; x peut varier de — c\fî à cya. Quand x varie de o à c^A, la valeur

positive de y2 part y de zéro et rede-

vient nulle; on a une courbe fermée OCADO (fig. 2ia) qui passe à l'origine : les valeurs négatives de x donnent une courbe symétrique de la précédente par rapport à OY. Le cercle de rayon OF coupe la courbe en quatre points, doot les ordonnées ont

une valeur numérique — maximum ; l'abscisse de ces points a pour

Fig. 212.

valeur absolue

Cette courbe se nomme lemniscate.

A l'origine, la valeur de y' se présente sous la forme -.; il est fa^

COURBES EN COORDONNÉES RECTIL1GNES. 401

cile do concevoir qu'il en est ainsi aux points multiples d'une courbe algébrique quelconque. En effet, la valeur de y' est donnée par la formule

tv («, y)

Or, f (x, y) étant un polynôme entier par rapport aux variables x ei y, les dérivées partielles fi {x, y), f y (os, y) sont aussi des polynômes entiers par rapport aux mêmes variables. Si ces polynômes ne devenaient pas nuls, lorsqu'on y remplace œ et y par les coordonnées du point multiple, y' aurait en ce point une valeur unique, tandis qu'elle doit avoir autant de valeurs différentes qu'il y a de branches qui passent au point multiple. Dans le cas actuel, l'équation étant bicarrée peut être résolue par rapport à y ; à chaque valeur de y correspond une dérivée qui a une valeur déterminée, quand on y remplace x par zéro. Cette valeur de la dérivée est, ainsi que nous l'avons

remarqué au n° 336, la limite du rapport -, lorsque œ tend vers

zéro. On peut obtenir la limite de ce rapport sans résoudre l'équation. Posons - = t, ou y = tx; en substituant dans l'équation (i), il vient

Lorsque x est très-petit, l'une des valeurs de t2 est voisine de l'unité, l'autre est négative et très-grande en valeur absolue ; en se bornant

aux valeurs réelles de y, on a lim -

: i. Les tangentes au point O

sont les bissectrices des angles des axes.

3° a>c. La seconde condition est encore satisfaite, quelle que soit

x ; x peut donc varier de

— \/à2 + ~â2 à + y/c2 + aK

Pour x = o, la valeur positive de y2 est a2 — c2. Prenons sur l'axe des y

OB = OB' = [/a2 — c2,

la courbe passe aux points B et B'. Si l'on fait varier a? de o à l/c2 + a2^2 part de a2 — <* et devient nul ; le lieu est une courbe fermée qui a pour som-

GHOM. ANALYT. 26

Fig. 213.

mets les points A, À', B, B'. Pour que le cercle coupe la courbe 9

il faut que Ton ait a<cy7.

Lorsque cette condition est satisfaite, l'ordonnée croît de B en G et diminue de G en A ; l'ordonnée du point B est minimum, celle du point C maximum (fig. 21 3). Si, au contraire, on a a>c^lïl\e cercle est intérieur à la courbe, dont l'ordonnée diminue de B en A; l'ordonnée du point B est maximum. La ligure 214 suppose

Fig. 214.

que a est égal à e\Ji.