OX

Le point 0, par lequel passent les deux branches de courbe, est un point double. Les tangentes en ce point aux deux branches de courbe coïncident avec les bissectrices des angles droits YOX, YOX'. Car l'angle ODE, extérieur au triangle isocèle DOM, est égal à la somme des deux angles intérieurs opposés, et, par conséquent, à deux fois l'angle DOM; de même l'angle ODA est égal à deux fois l'angle DON. Quand la droite

AD s'applique sur AO, l'angle obtus ODE diminue st tend vers

f un angle droit ; donc l'angle moitié YOM diminue et tend vers - •

L'angle aigu ODA augmente au contraire et tend vers un angle

droit ; donc l'angle moitié YON augmente et tend aussi vers - •

On peut remarquer d'ailleurs que les deux droites OM et OIS! sont rectangulaires. On voit, en outre, que l'arc OMA est situé au-dessous de sa tangente, tandis que l'arc ON est au-dessus.

La tangente au sommet A est perpendiculaire à l'axe OX ; car, lorsque le point D s'élève indéfiniment, la corde AM devient perpendiculaire à OX.

Sur le prolongement de AO prenons OG = OA, et par le point G élevons la perpendiculaire H'H; cette droite est asymptote de part et d'autre aux deux branches infinies de la courbe; car la distance NE, égale à AM, tend vers zéro.

24. Cherchons l'équation de la courbe en coordonnées polaires. Prenons le point 0 pour pôle, et la droite OA pour axe polaire; les coordonnées du point M sont p=OM, w=MOA; dans le triangle isocèle DOM, chacun des angles DOM, DMO est

égal à o), et l'angle ODMà 2w; l'angle OÀM, eomplémen-

taire du précédent, vaut 203. Si l'on désigne par a la longueur OA, on a, clans le triangle OMA,

sin

a . /tc sm 1

„ , , \ acos 20J dou (1) p =

v ' r COSO)

Les coordonnées du point N vérifient la même équation,

Cherchons l'équation de la courbe en coordonnées rectilignes, en prenant pour axes les deux droites OX et OY. Si, dans l'équation précédente, mise sous la forme p cos <o = a (cos2w — sin2u>), on remplace cos w et sin u> par leurs

GÉOM. ANALYT. 2

valeurs - et -, on a xo2 = a(x2 — y2); mettant ensuite à la

place de p2 sa valeur x*-\-y2, on arrive àl'équation du troisième degré

25. Proposons-nous maintenant de construire la courbe au moyen de son équation en coordonnées rectilignes. L'équation (2), résolue par rapport à y, donne

= ±xSja~X

Pour que l'ordonnée y soit réelle, il faut que la quantité placée sous le radical soit positive. Quand on donne à x des valeurs positives, le dénominateur étant positif, le numérateur doit être aussi positif, ce qui exige que x soit plus petit que a. Quand on donne à x des valeurs négatives, le numérateur étant positif, le dénominateur doit être aussi positif, ce qui exige que la valeur absolue de x soit moindre que a. Ainsi l'abscisse x ne peut varier que de — ah-\-a ; si donc on porte sur l'axe des x, à partir de l'origine, et de part et d'autre, des longueurs OA et OG égales à a, et que par les points G et A on mène des parallèles HIT, KK' à l'axe des y, la courbe sera tout entière comprise entre ces deux parallèles. On verra la forme de la courbe en suivant la variation de la fonction

= x\ft

Quand x varie de 0 à a, l'ordonnée y conserve des valeurs finies; elle s'annule pour x—o, et aussi pour x=a; il en résulte une branche de courbe OMA, partant du point 0, et aboutissant au point A. Quand x varie de 0 à — a, l'ordonnée y est négative et varie de 0 à — 00; il en résulte une branche ON', qui part de l'origine et s'abaisse indéfiniment, en se rapprochant de plus en plus de la droite HH', qui est une asymptote; cette branohe ON' fait suite à la branche AMO.

En changeant le signe du radical, on obtient une branche AM'ON, symétrique de la première par rapport à Taxe des x.