Exemple IV. Construire la courbe

2?/ 5 — 5xy2 + a?5 = o.

Cette équation, étant du cinquième degré par rapport à chacune des variables, ne peut être résolue par rapport à aucune d'elles ; elle ne renferme que des termes de degrés impairs ; donc l'origine est centre de la courbe. Examinons combien l'équation, dans laquelle on considère y comme l'inconnue, a de racines réelles pour les diverses valeurs attribuées à x.

Supposons d'abord x positive, l'équation (1) aura au plus deux racines réelles positives, puisque son premier membre n'a que deux variations. La dérivée du premier membre par rapport à y est loy {yz~-x). Cette dérivée est négative depuis y = o jusqu'à y=z\/x, positive depuis cette valeur jusqu'à l'infini. Le premier membre, qui est positif pour y = o, décroît, lorsque y varie de o à \/x, et croît ensuite indéfiniment. L'équation a donc deux racines positives, ou elle n'en a pas, suivant que la valeur y = Vx rend le premier membre négatif ou positif, c'est-à-dire suivant que Ton a #10<27, ou #10>27. Si l'on change y en — y, le premier membre présente une variation et une seule ; donc l'équation a une racine négative et une seule.

Pour x = o, les cinq racines de l'équation (1) sont nulles ; x croissant. de o à iV^h l'équation a deux racines positives et une racine négative; lorsque œ atteint la valeur V27, les deux racines positives deviennent ég&les, puisqu'elles annulent la dérivée. Quand x dépasse V27, l'équati'on n'a plus qu'une racine réelle qui est négative. Les deux racines positives donnent une boucle OABO (fig. 21 5), comprise dans l'angle YOX, et la racine négative une branche infinie OC placée dana.

l'angle Y'OX. Aux valeurs négatives de œ correspondent une boucle

OA'B'O et une branche infinie OC, symétriques des précédentes par rapport au centre. La valeur maximum de l'abscisse pour la boucle OABO est V 27, elle correspond à un point A où la tangente est parallèle à OY, puisque les coordonnées de ce point annulent fy {%,y). En considérant y comme variable arbitraire, on trouve que le maximum de y pour la même boucle est /4 ; ce maximum donne un point B, où la tangente est parallèle à OX.

La méthode précédente de discussion est applicable toutes les fois que l'équation ne contient que trois termes; car on sait toujours déterminer le nombre des racines réelles d'une équation trinôme à une seule inconnue.

Fig. 215.