EMPLOI DUNE VARIABLE AUXILIAIRE
341. Lorsqu'il est impossible de résoudre l'équation par rapport à l'une des variables x ou y, on peut dans certains cas exprimer les deux coordonnées à l'aide d'une variable auxiliaire t; et, en suivant les variations simultanées de x et y, lorsque t varie entre les limites qui rendent ces quantités réelles, tracer la courbe.
Si l'on considère y comme une fonction de x, et x comme une fonction de t, on a, en prenant la dérivée de y par rapport à t, d'après le théorème des fonctions de fonctions *,
on en déduit la formule
Dxy =
Btx
qui donne le coefficient angulaire de la tangente au point qui
i. Pour désigner la dérivée d'une fonction, on emploie fréquemment la lettre D, initiale du mot dérivée, et l'on indique la variable par rapport à laquelle on prend la dérivée en écrivant cette variable comme un indice à droite de la lettre D et un peu au-dessous. Ainsi T>tx et Dty indiquent les dérivées des fonctions x et y par rapport à la variable f, D,y la dérivée de y par rapport à r.
iU LIVRE IV, CHAPITRE I.
correspond à une valeur quelconque de t. Les valeurs de t qui annulent Bty déterminent les points pour lesquels la tangente est parallèle à OX, et les valeurs qui annulent D<#, les points pour lesquels la tangente est parallèle à OY.
342. Exemple V. Construire la courbe yk — y3x -f- xz — ixhj = o.
Si l'on pose y — tx, on a x = , . , y = tx= 2 , , , et l'on
construit la courbe en faisant varier t de — oo à + <x> . Pour suivre les variations de x et de y, prenons les dérivées
6t2 — 8£ + 3 ^ . i[t2 — St-{-2
Dtx=: —
V[t-if
— tV>
Les numérateurs, ne s'annulant pour aucune valeur réelle de t, ne
changent pas de signe. Les valeurs de x et de y deviennent nulles pour
t = - , infinies pour t=o, ou t= i.
Si l'on fait varier t de — <x> à o, x est négatif et décroît de o à — oo, y est positif et croît de o à l'infini ; on obtient ainsi la branche infinie OA (fig. 216). La variable t allant
de o à -, x et y deviennent posi-
Fis- 216- tifs et décroissent de 00 à o, ce qui
donne la branche infinie BO. La variable t allant de - à 1, x et y sont
négatifs et décroissent de o à-w, on a la branche infinie OC. Le
coefficient angulaire de la tangente en O à la branche BOC est -.
Enfin, si t varie de 1 à 00 , x et y deviennent positifs et décroissent de 00 à o, on obtient la branche infinie DO.
Lorsque l'équation entre x et y ne renferme que deux groupes de termes, l'un du degré m, l'autre du degré m— 1, si Ton prend, comme
nous venons de le faire, pour variable auxiliaire le rapport - = t, les
coordonnées x et y sont des fonctions rationnelles de cette variable. Lorsque l'équation contient trois groupes de termes, le premier du degré m, le second du degré m— 1, le troisième du degré m— 2, en conservant la même variable auxiliaire, les coordonnées s'obtienneni par la résolution d'une équation du second degré, et on peut encore suivre leurs variations simultanées .
Exemple VI. Construire la courbe a?5y4 — xy-—x — 2 = 0.
Si Ton pose xy — t , on a x = - — -, y= ■. Examinons comment
varient x et y, lorsqu'on fait varier la variable auxiliaire t de — go à -f oo . Pour cela prenons les dérivées des deux fonctions, on a
5^ + 8*3+i 4<8 + io<* — 2
La valeur de D<a? s'annule pour deux valeurs a et 6 de t comprises, la
première entre — - et — 2, la seconde entre — 1 et o. La valeur l)ty
s'annule pour trois valeurs c, d, e de t, comprises, la première entre
et — 2, la seconde entre — 2 et o, et la troisième entre o et 1.
On reconnaît facilement, en outre, que l'on a a<^c, d<b. Cela posé, considérons la suite des quantités
— 00 , a, c, — 2, — 1, dj 6, e, -f- 1, °c
rangées par ordre de grandeur. Si l'on fait varier t de — 00 h a, x est
négatif, part de .0 et décroît; y est positif, part de l'infini et décroît également ; on a la branche AB asymptote à l'axe OY (fig. 217). La variable t allant de a à c, a? est négatif et croisai sant, y positif et décroissant; -g s branche BC. La variable t allant de c à — 2, x est négatif et croît jusqu'à o, y est positif et croît jusqu'à l'infini; branche CI. La va* riable t allant de — 2 à — 1 , x croît de o à 00 , y croît de — 00 à o ; double branche infinie DE, asymptote à OY' et à OX. La variable t allant de-i à d, x part de — co et croît, y part de o et croît; branche infinie FG, asymptote à OX7. La variable t allant de d à 6, x continue à croître, et y décroît en restant positif; branche GH. La variable t allant de b à e, x et y décroissent; branche HK, qui coupe OX' en un point dont l'abscisse — 2 correspond ht=o. La variable t allant de e à + 1, x décroît, y augmente ; branche infinie KL, asymptote à OX'. Enfin, t variant de + 1 à + 00 , x décroît de 00 à o, et y croît de o à co ; double branche infinie MN, asymptote à OX et OY.
Les tangentes aux points C, G, K, qui correspondent aux valeurs c, d, e, de t qui annulent D#, sont parallèles à OX; les tangentes aux points B et H sont parallèles à l'axe OY.
Fig
343 . Courbes tangentes, courbes orthogonales» Soient f(x, y)=o, y (x, y) = o les équations de deux courbes. Appelons x et y les coordonnées d'un point d'intersection des deux courbes; pour qu'elles soient tangentes en ce point, il faut et il suffit que les coefficients angulaires des tangentes aux deux courbe0 en ce point soient les mêmes :
fy 9v OU fxy'y—fyVx^0-
Les coordonnées x et y doivent donc vérifier les trois équations :
(0 f(x,y) = °> <?(x,y) = o, fx<?y — fyyx = o; en éliminant x et y entre ces trois équations, c'est-à-dire en exprimant qu'elles ont une solution commune, on aura une équation de condition qui exprimera que les courbes sont tangentes en un point.
Si les courbes doivent être tangentes en k points, il faut exprimer que les équations ci-dessus ont k solutions communes.
Au point de vue géométrique, exprimer que ces équations (i) ont k solutions communes revient à exprimer que la courbe
fxVv — fv<?'x — o passe par k des points d'intersection des courbes données.
On voit de même que, si les courbes données f=o , ç = o sont orthogonales en un point (x, y), on doit avoir
(2) f(x,y) = o , <p(a?,y) = o , %% + fi<?v = o.
En éliminant x et y entre ces relations on aura une condition exprimant que les deux courbes sont orthogonales en un de leurs points d'intersection. Pour exprimer qu'elles sont orthogonales en k de leurs points d'intersection, il faut exprimer que les équations (2) ont k solutions communes.
Au point de vue géométrique cela revient à exprimer que la courbe
fx?x + fl9v = °
passe par k des points communs aux proposées.
Exemple. Soient deux coniques /*= o , 9 = 0; pour exprimer qu'elles sont orthogonales en leurs quatre points d'intersection, il faut exprimer que la courbe
fx 9x + fv fy = ° qui est aussi une conique, passe par les quatre points communs aux deux coniques données, c'est-à-dire que son équation peut être identifiée avec une équation de la forme f + X <p = o.
Ainsi l'on vérifiera facilement que, quelles que soient les constantes « et p, les deux coniques
2#2 + if — a = o y2 — 2$% — o9
sont orthogonales en tous leurs points d'intersection. Il en est de même pour les coniques
2xy — a = o , x2 — y* — P = o.
Exercices. — 1° Former V équation générale des coniques qui coupent à angle droit en quatre points la conique fixe Ax2 + By2 — 1=0.
Ces coniques se partagent en plusieurs groupes; dans l'un d'eux se trouvent les coniques homofocales à la conique fixe.
2° Soient f(x,y) = o, ?(x,y) = o, les équations de deux courbes algébriques de degrés m et n en coordonnées rectangulaires, calculer les angles sous lesquels se coupent ces courbes.
Soient x et y les coordonnées d'un des points d'intersection ; les tangentes en ce point aux deux courbes se coupent sous un angle 6 dont la tangente trigonométrique est donnée par la formule
fx <p'u — fy y'x tang 0 = ' y , '/, •
° focv'y + f'yvy
En éliminant x et y entre cette équation et les équations des deux courbes, on aura une équation de degré mn donnant les tangentes des angles 6 sous lesquels se coupent les deux courbes.
Comme application, on formera l'équation du second degré donnant
les tangentes t des angles sous lesquels la droite ux -J- vy + w = o
x* i/2 eoupe l'ellipse -5 + ^ — 1 =0.
On trouvera :
22(aVw2+ô2ttV
