CHAPITRE II

Convexité et concavité.

344. Soit AB un arc de courbe correspondant à une détermination de y, et aux valeurs de x comprises entre aet b; nous supposons que dans cet intervalle la dérivée seconde y" de y par rapport à x conserve le même signe, par exemple, reste positive. Menons la tangente RS en un point quelconque M de cet arc, ayant pour abscisse x0; désignons par y[ la valeur de la dérivée en ce point, ou le coefficient angulaire de la tangente, et par Y l'ordonnée d'un point quelconque de cette droite, ordonnée définie par l'équation Y— y0 = y'o (# — ff0) î la, différence y— Y s'annule pour x=x0, et il en est de même de sa dérivée y'— Y' ou y'—y\ Fig. 2i8. (fig- 21 8). Quand l'abscisse x croît de a

à b, la dérivée y" de la différence y' — y\ étant positive, la fonction y' — y\ va en croissant ; comme elle s'annule pour x=x0,elle est négative de a à x0, positive de x0 à b. Considérons maintenant la fonction y — Y, qui admet pour dérivée y' — y'Q ; quand x varie de a à xQ, la dérivée étant négative, la fonction décroît ; comme elle s'annule pour x = x0, elle était positive auparavant ; avariant de xQ h b, la dérivée est positive et la fonction croît; comme elle s'annule pour x=xQ, elle est aussi positive de xQ à b. Il en résulte que la différence y— Y reste positive dans l'intervalle de a à b. On conclut de là que l'arc de courbe AB est situé tout entier d'un même côté de chacune de ses tangentes, on dit que cet arc est convexe. Il en serait de même si la dérivée seconde restait négative; mais la différence y — Y étant négative, l'arc serait situé tout entier de l'autre côté de la tangente. Il est facile ue distinguer ces deux côtés ; par le point M menons une parrallèle MY, à Taxe OY, et dans la direction des y positifs; dans le premier

CONVEXITE ET CONCAVITÉ. 409

cas, l'arc est situé du môme côté de la tangente que la demidroite MY) : dans le second cas, il est de l'autre côté. Dans le premier cas, on dit que Tare AB tourne sa concavité dans la direction MY4 ; dans le second cas, dans la direction opposée. On sait que le signe de jf indique le sens de la variation de yf quand x croît. Si donc on imagine que le point M parcoure l'arc AB, le coefficient angulaire ira en croissant, si y* est positive, et, au contraire, en décroissant, si /est négative.

345. On appelle points d'inflexion les points où la concavité change de sens, c'est-à-dire les points où la dérivée seconde change de signe. La dérivée seconde pourra changer de signe en passant par zéro ou par l'infini. En général, la quantité y", étant finie et continue, change de signe en passant par zéro. Supposons que y1' change de signe pour x~xQ en passant par zéro, on verra facilement que la dérivée première y' — y\ ne change pas de signe, mais que la fonction y — Y change de signe; de sorte qu'en ce point la courbe passe d'un côté à l'autre de la tangente. Si pour x = x0, y" change de Fig. 219. signe en passant par l'infini, yr devenant infini et y restant fini, le point x = x0 , y — ya est un point d'inflexion où la tangente est parallèle à l'axe Oy.

Si par le point d'inflexion M (fig. 219) on mène une sécante voisine de la tangente MT, cette sécante coupera la courbe en deux points M' et M" voisins de M; la tangente MT est la limite d'une sécante passant par trois points voisins M", M, M', quand les deux points M" et M' tendent vers le point M.

346. Exemple I. Sinussoide. Construire la courbe y = sinx. Quand x croît de o à 7t, l'ordonnée est positive ; elle part de o pour revenir à o, ce qui donne l'arc OAC (fig. 220) symétrique par rapport à l'or-

donnée qui correspond àœ=-. Quand x croît de tu à stt, y devient

négatif, et Ion obtient l'arc CBO', égal au premier. De 2tt a 4 71, l'ordonnée reprend les mêmes valeurs que de o à 2^, de même de 4^ &

6w, etc. Ainsi la courbe se compose (Tune inimité d'ondulations égales.

Le coefficient angulaire de la tangente est y' = cos x ; à l'origine,

y'= i, la tangente est bissectrice de l'angle YOX. Au point G, y' — — !,

Fig. 220.

la tangente est parallèle à l'autre bissectrice. Pour x = -, la dérivée s'annule et de positive devient négative ; l'ordonnée du point A est maximum. Pour x = 3 - , la dérivée s'annule également, de négative

devenant positive ; l'ordonnée du point B est minimum.

Quand x varie de o à «, la dérivée seconde y" = — sin x est négative et la courbe tourne sa concavité vers les y négatifs; de n à 2n, la dérivée seconde est positive et la courbe tourne sa concavité vers les y positifs; le point G est un point d'inflexion.

Il est à remarquer que cette courbe a une infinité de centres, situés à égale distance les uns des autres sur l'axe X'X, les points O,

C, O', dont les abscisses sont les multiples de «. Chacun d'eux est

un point d'inflexion.

347. Exemple IL Construire la courbe (y — a?2)2 — £c5 = o, ou

y=zX2àzx2.

Les valeurs de y ne sont réelles que lorsque x est positif. Prenons

d'abord le signe -f- devant le radical ; la fonction y =x2 + x augmente

de o à l'infini, quand x varie de o à oo . La dérivée y' = zx + - x 2 part

de zéro et augmente aussi constamment ; on a donc une branche infinie OD tangente en O à l'axe OX et qui tourne sa concavité vers les y positifs (lig. 221). Prenons maintenant le signe — devant le radical ; la valeur de y est positive de o à 1, et négative au delà. Portons sur OX une longueur OA égale à l'unité, la courbe passe en A. La dérivée

Fig. 221.

CONVEXITE ET CONCAVITE. Mi

y'rzz zx — x 2, nulle au point 0, est positive, tant que a; reste moindre

que—, et négative quand x dépasse ce nombre; l'ordonnée MP, qui

s* correspond à —, est maximum, et la tangente en M est parallèle à

OX. La dérivée seconde 2 — y- x reste positive depuis o jusqu'à — -j^

elle est négative au delà ; le point N, qui correspond à l'abscisse -~>

est un point d'inflexion ; de 0 en N, la concavité est tournée vers les y positifs ; au delà, elle est tournée vers les y négatifs.

Les deux branches de la courbe sont tangentes au point 0 à la droite OX, sans être la continuation l'une de l'autre; les points qui offrent cette particularité se nomment points de rebronssement. Dans cette courbe, les deux branches sont du même côté de la tangente. Eu considérant la courbe (y — x2)2— #3 = o, on aurait deux branches situées de part et d'autre de la tangente; la cissoïde présente à son sommet A (fig. 16) un rebroussement de cette sorte.

348. Exemple III. Soit la courbe y= - ( ea + e a). On suppose

que a désigne une longueur donnée ; alors l'équation est homogène et définit une courbe, à laquelle on a donné le nom de chaînette, parce que c'est la courbe que forme un fil flexible pesant, dont les extrémités sont attachées à deux points fixes

L'équation donne des valeurs de y égales pour deux valeurs de x égales et de signes contraires, la droite OY est un axe de la courbe.

Quand x varie de o à 00 , le terme ea augmente, mais le terme e * diminue ; pour savoir comment varie y, prenons la dérivée ; on a

lQ-e =).

Cette dérivée est positive pour toutes les valeurs positives de x; donc, quand x croit de o à 00 , la valeur de y augmente constamment de a à 00 , ce qui donne une branche infinie BC (fig. 222); on obtient la branche BC symétrique par rapport a OY en donnant à x des valeurs négatives. Fig. 222. La dérivée seconde restant positive

quand x varie de — 00 + 00 , la courbe tourne sa concavité vers les y

positifs.

349. Exemple IV. Construire la courbe y = ex. Quand x a une valeur positive très-petite, y est positive et très-grande ; x croissant de o à -f *», y décroît constamment de oo à i, ce qui donne une branche AC (fîg. 223) asymptote d'une part à OY, d'autre part à la droite G'G menée parallèlement à OX et à une distance de cette droite égale à l'unité. Quand on donne à x une valeur négative très-petite numériquement, y est positive et très-petite ; x variant de o à — oo , y croît

constamment de o à i ; on a ainsi une branche OD partant de l'origine et asymptote à la droite GG'.

Cette courbe présente une particularité que nous n'avons pas encore rencontrée : la branche DO s'arrête brusquement au point O; on donne aux points de cette espèce le nom de points d'arrêt.

Pour avoir le sens de la concavité,

Fi°\ 2'23

' °" prenons d'abord la dérivée première

2/'= ^ ex. Lorsque x varie de o à oo , les deux facteurs -g et e3

diminuent; à cause du signe — , y' augmente; la concavité de la branche AG est tournée vers les y positifs ; x variant de — oo à o. le

facteur -^ augmente, le facteur ex diminue ; on ne voit pas immédiatement comment varie y'\ la dérivée seconde va nous l'apprendre. On

a y" = — j-^ ex. Quand x varie de — oo à , la dérivée seconde

est négative; prenons OP égale à - et soit M le point correspondant de la courbe; l'arc DM a sa concavité dirigée vers les y négatifs ; x croissant de à o, y" est positive, l'arc MO tourne sa concavité vers

les y positifs et le point M est un point d'inflexion. Exemple V.

Soit v = Q

On trouve facilement

la dérivée seconde change de signe deux fois, une fois en devenant infinie pour x = o et une fois en s'annulant pour \fx = 2 , x = 8. Ltt courbe a donc deux points d'inflexion.