CONVEXITÉ ET CONCAVITÉ

350. Considérons les cas où l'équation de la courba (i) f(x,y) = o

n'est résolue par rapport à aucune des variables x et y ; la dérivée y' est donnée par l'équation

Puisque y et y' sont deux fonctions de œ, le premier membre de l'équation (2) est une fonction composée relativement à la variable indépendante x ; cette fonction a pour dérivée

comme elle est constamment nulle, sa dérivée est aussi nulle, et l'on a l'équation

qui donne la valeur de y". Si l'on remplace dans cette équation

y' par sa valeur tirée de l'équation (2), il vient

y (fy)\

C'est à l'aide de cette formule que l'on détermine le sens de la concavité, ainsi que les points d'inflexion.

351. Appliquons cette formule à la courbe définie n° 339. L'équation de cette courbe peut se mettre sous la forme

On en déduit

Si Ton substitue ces valeurs dans la formule précédente, on obtient, après avoir réduit en tenant compte de l'équation (1), 9 ___ g*[5c%2 — a?2)— (a4 — c4)3 y ~~ 2/3(oî2 + 2/2 + c2)3

Pour chaque portion de la courbe comprise dans l'un des angles des axes des coordonnées, le dénominateur conserve le même signe; la valeur de y" ne peut changer de signe que lorsque le numérateur passe par zéro. Les coordonnées des points d'inflexion doivent donc vérifier à la fois l'équation (1) et l'équation

on en déduit

(*) y* + rf = J^-G\

Dans le premier cas, lorsque a est plus petit que c, les valeurs de x et de y données par les équations (2) et (3) étant imaginaires, le numérateur de y" a le même signe pour tous les points de l'arc RCA; on vérifie aisément qu'il est négatif près des points B et A ; la concavité de cet arc est dirigée vers les y négatifs (fig. 211). Dans le second cas. a = c, le numérateur devient nul au point 0 seulement ; il est négatif de 0 en A, et la concavité de Farc OGA est dirigée vers les y négatifs (fig. 212); l'arc A'D'OCA présente au point 0 un point d'inflexion. Dans le troisième cas, on a a>c\ pour que les valeurs de x et de y soient réelles , on doit avoir en même temps a < c\J!T. Lorsque a est plus grand que cyz, le numérateur est négatif en tous les points de l'arc BA, et la concavité tournée vers les y négatifs (G.g. 214); si a est plus petit que c\/^ le numérateur s'annule pour un certain point G (fig. 2i3) situé entre B et G ; de B en G, il a le même signa «qu'au point B : il est positif et la concavité est tournée vers les y positifs; de G en A, le numérateur a le même signe qu'au point A : il est négatif et la concavité dirigée du côté des y négatifs. Le point G est un point d'inflexion.