CONVEXITÉ ET CONCAVITÉ

réeiïes distinctes et n'ayant aucun point commun. Quand x passe par la valeur b, il peut arriver que deux racines réelles deviennent imaginaires ou inversement; au point qui correspond à la valeur b et à la racine double réelle, commencent ou finissent dans ce cas deux branches de courbes.

Parmi les valeurs réelles de y qui correspondent à une même valeur x0 de #, considérons-en une y0 qui soit racine simple ; si Ton fait varier x de x0 — h à x0 + A, h étant suffisamment petite, cette valeur de y restera réelle sans devenir égale à une autre et donnera naissance à une branche réelle. Ainsi, lorsque, pour une valeur x0 attribuée à x, V équation admet une racine simple réelle y0, par le point dont les coordonnées sont x0 et y0 passe une branche réelle, et une seule.

Considérons maintenant une valeur x = b à. laquelle corresponde une valeur multiple yx d'ordre;? ; marquons le point M dont les coordonnées sont x=b, y—y\ ; parmi les p valeurs de y qui deviennent égales à yi pour x=b, il y en a un certain nombre qui sont réelles, quand x varie de a à b, et un certain nombre qui sont imaginaires ; le nombre de ces dernières étant pair, le nombre des racines réelles est p — zq (q pouvant être nul). De même, quand x varie de b à e, le nombre des valeurs réelles de y qui partent de la valeur yi pour x=b est p — 2 g'; de sorte que le nombre total des branches de courbe, qui partent du point M, dans un sens ou dans l'autre. est le nombre pair %p — zq — iq'.

353. Déterminons actuellement les tangentes au point M; transportons en ce point l'origine des coordonnées, et posons ensuite y=tx; nous aurons une équation <p (x, t) = o, qui donnera les coefficients angulaires t des sécantes menées dupoint M aux points où la courbe est coupée par une parallèle à l'axe des y. Supposons que pour x = o on ait une racine réelle t = tt; cette racine déterminera une droite, et, en répétant les mêmes raisonnements que dans le paragraphe précédent, on reconnaît que le nombre total des branches réelles, partant du point M, et tangentes aux deux directions de la droite, est pair.

Il résulte de ce qui précède qu'une courbe algébrique ne

peut pas présenter de point d'arrêt (n° 349). Elle ne peut pas présenter non plus de point saillant ou anguleux; on nomme point anguleux un point d'où partent deux branches tangentes à deux droites différentes.

354. Quand on transporte l'origine au point M dont les coordonnées sont x0 et y0 , l'équation devient

(0 (*/;. + y/s.) +^(**r*i+**yr*9fi + y*fà) +.•.=<>,

et l'équation

(a) x{TXt + tflt)+* (& + *£.», + <V»î)-l- ••. = <>

donne les points où une droite quelconque y = ta menée par le point M rencontre la courbe. Lorsque l'une des dérivées premières au moins est différente de zéro, la racine x — o étant racine simple, on dit que le point M est un point simple de la courbe. Peur la valeur particulière ti de t qui annule le premier terme, une seconde racine est égale à zéro, et la droite devient tangente à la branche de courbe. Le contact est du premier ordre, lorsque pour t=ti le coefficient de x2 est différent de zéro; il est de l'ordre p lorsque le premier coefficient différent de zéro est celui de x?+l ; parmi les m — 1 autres points d'intersection de la droite et de la courbe, p se confondent avec le point M.

Supposons que les deux dérivées partielles du premier ordre soient nulles, sans que les trois dérivées secondes le soient; la racine x=o étant racine double de l'équation (2), une droite quelconque menée par le point M coupe la courbe en deux points confondus en M, et l'on dit que ce point est un point double. Si l'on divise tous les termes par x2, l'équation ( 2) se réduit à

(3) i(£i + a</V,+<7Sî) + ^(n + 3C^ + . ••)+•••=<>. Lorsque l'équation du second degré

(4) f"A+*tr*<>t+trii=°

a ses deux racines ti et t2 réelles et inégale,*, pour une valeur de x très petite en valeur absolue, l'équation (3) admet deux

CONVEXITE ET CONCAVITE. 417

racines simples voisines, Tune de ti9 l'autre de U\ à ces deux valeurs réelles de t correspondent deux branches de courbe tangentes aux droites y = t1x, y = t%x (flg. 208). Lorsque l'équation (4) a ses deux racines imaginaires, les deux valeurs de t qui en sont voisines sont aussi imaginaires, et le point M est un point isolé (fig. 207). Quand l'équation (4) a ses deux racines égales à ti9 plusieurs cas peuvent se présenter; si les deux valeurs de £ voisines de ti sont imaginaires pour les valeurs positives et négatives de x, le point M est un point isolé; si elles sont réelles pour les valeurs positives de x et imaginaires pour les valeurs négatives ou inversement, on a un point de rebroussement (fig. 209 et 221); enfin, si elles sont réelles pour les valeurs positives et aussi pour les valeurs négatives de x, on a deux branches passant au point M, de part et d'autre, et tangentes à la même droite.

Remarquons que Von obtient V équation qui donne les diverses tangentes au point multiple, en égalant à zéro le groupe des termes du degré le moins élevé dans V équation (i).

384 bis. Nous allons définir un cas dans lequel il est facile de trouver la forme d'une courbe algébrique dans le voisinage de l'un de ses points.

Ce point étant pris pour origine, on suppose que l'équation en x obtenue en faisant y = o dans l'équation de la courbe admet zéro pour racine simple. Soit

?o(aO + ?i(ff)y+ •■• <tn(x)yn+ ... =0 l'équation de la courbe mise sous forme entière et ordonnée par rapport aux puissances croissantes de y. Par hypothèse <p0 {x) admet x comme facteur simple; x peut aussi se trouver en facteur dans quelques-uns des coefficients suivants. Soit <p„ (x) le premier coefficient qui ne s'annule pas pour x = o, nous pouvons écrire l'équation

0 { *o (*0+y M*0 • • • + y71'1 ^-1 G») î -\-yn i ?» 0*0 + y <p»+i(ff) + ....( = o.

Si on suppose x très petit et si Ton considère une des

GÉOM. ANALYT. 27

valeurs très petites de y, le signe de chacune des parenthèses est le signe de son premier terme, et même chacun de ces termes ty0 (x), ®n (x) peut être remplacé par la valeur qu'il prend pour x — o.

En définitive, pour trouver la forme de la courbe dans le voisinage de l'origine, l'équation étant ordonnée par rapport aux puissances croissantes de y, il suffit de considérer le terme indépendant de y qui admet x comme facteur simple et le premier des termes suivants dont le coefficient ne s'annule pas pour x = o. On est ramené ainsi à une équation binôme

Ax -f- Byri = o et Ton peut même, dans chacun des coefficients A et B, négliger la partie qui s'annule pour x = o.

385. L'on peut aussi, pour trouver l'équation de la tangente à une courbe algébrique et les points d'inflexion de cette courbe, employer la méthode suivante qui a l'avantage de s'appliquer aux courbes dont l'équation est donnée en coordonnées trilinéaires.

Soit une courbe d'ordre m ayant pour équation en coordonnées homogènes f(x, y, z) = o. Prenons sur la courbe un point Mt (x±,yi9zù et dans le plan un second point M (a?, y,z). Cherchons les points où la droite MtM qui joint ces deux points coupe la courbe. Les coordonnées homogènes d'un point de cette droite sont (page 3/t8).

(5) xt + lx , yi + ly , zt + lz;

pour que ce. point appartienne à la courbe, il faut et il suffit

que X vérifie l'équation

jffo + to , yt+ty , Zl+\z) = 0 ou

(6) / <xt ,y, izl) + \ (xfH + y f^ + zQ +

En mettant successivement toutes les racines de cette équation en X dans les expressions (5), on aura les coordonnées de tous les points, d'intersection. Le point (xi9yt9zl) étant sur la courbe, on a f(xi,ynzl) — o; l'équation (6)