POINTS D'INFLEXION

admet donc une racine nulle X = o qui, portée dans les expressions (5), donne précisément le point (x^y^z^. Pour que la droite M^M soit tangente à la courbe en M15 il faut qu'il y ait deux points d'intersection confondus en M19 c'està-dire que l'équation (6) admette la racine double X2 = o : ce qui exige

Si les coordonnées du point M vérifient cette équation, la droite M4M est tangente en Mj : l'équation (7) dans laquelle on considère x,y,z comme des coordonnées courantes est donc l'équation de la tangente au point Mt.

Dans ce qui précède nous avons supposé que les trois dérivées fx , f , f'z ne sont pas nulles en même temps. Si

ces trois dérivées étaient nulles, le coefficient de X dans l'équation (6) serait nul, quelle que soit la position du point M : toute droite passant par le point Mt couperait la courbe en deux points au moins confondus avec Mt. On dit alors que le point Mt est un point singulier. Les points singuliers sont donc caractérisés par cette propriété que leurs coordonnées annulent les trois dérivées partielles de f par rapport à x, y et % et, par suite, f\ en vertu du théorème clés fonctions homogènes.

Supposons que le point Mf ne soit pas un point singulier et cherchons la condition pour qu'il soit un point d'inflexion. Pour cela il faut et il suffit que la tangente en Mj coupe la courbe non pas en deux mais en trois points confondus avec M^ : en d'autres termes, si l'on prend le point M sur la tangente (7) il faut que le coefficient de X2 s'annule, c'està dire que Ton ait

<8) ? (*,„,*) - xrx\ + ffv\ + *% + mfWi +

Si l'on considère x, y, z comme des coordonnées courantes, cette équation (8) représente une conique : et comme tout système de valeurs (œ, y, z) vérifiant la condition (7) doit vérifier en même temps la condition (8), cette conique doit se

décomposer en deux droites dont Tune est la tangente. Donc* si Mx est un point d'inflexion, le discriminant de la fonction du second degré 9 (x, y9 z) doit être nul

/ x( I x^v i I xlzi H= fxji f'y] fy.Zi

fx^i fyxzK f z?

Réciproquement, si en un point Mx non singulier cette fonction H est nulle, ce point est un point d'inflexion. En effet,, remarquons que la conique 9 (xf y9 z) = 0 passe par le point {xi>ynzi) et y est tangente à la courbe. Elle passe par le point, car d'après le théorème des fonctions homogènes

? (#i> Vu -t) = #Î/V+..- . = ro (m — 1) f{xi9 yl9 z,) = 0 ;

ensuite, on obtient facilement d'après l'expression de cp,

*i<£ + y&'v + *i?i = 2 (m — 1) (xfX[ + y/£( + zfz) ,

identité qui montre que la tangente à la conique au point Mj se confond avec la tangente à la courbe en ce point. Donc, si la conique 9 se décompose en deux droites, Tune des droites doit passer en Mj et y être tangente à la courbe : en d'autres termes le polynôme 9 (x9 y, z) est décomposable en deux fac^ teurs dont l'un est le premier membre (7) de l'équation de la tangente. On en conclut que le point M4 est bien un point d'inflexion.

Le déterminant H s'annule aussi lorsque le point M4 est un point singulier; en effet, dans ce cas, les trois dérivées-partielles du polynôme 9 (x, y, z) , yx9 9^ , 92 s'annulent pour x=xi , y=yt , z=zi9 comme il résulte de ce que f'x , fy{ , fZx s'annulent en un point singulier ; le discriminant H de 9 est donc nul.

Le déterminant H s'appelle le Bessien; si l'on considère1 #i> 2/ij zi comme coordonnées courantes, l'équation H = o représente une courbe d'ordre 3 (m — 2) appelée Hessienne qui passe par les points d'inflexion et les points singuliers de lacourbe f— 0. Nous venons de voir que, réciproquement, tout point commun aux deux courbes /= 0 , H = 0, s'il n'est pas* un point singulier de / = 0, en est un point d'inflexion. On ei*