CLASSE

conclut que, si la courbe f= o n'a pas de points singuliers, elle a 5m (m — 2) points d'inflexion réels ou imaginaires. Si la courbe f=o a des points singuliers, le nombre de ses points d'inflexion est diminué.

Ainsi une courbe du troisième ordre sans point singulier a neuf points d inflexion; si elle a un point double elle n'a plus que trois points d'inflexion; si elle a un point de rebroussement elle n'en a plus qu'un.

Exemple. La courbe du troisième ordre qui a pour équation ea coordonnées cartésiennes **

ou en coordonnées homogènes

f(x, y, z) = #3 + y3 + z* — o n'a pas de points singuliers : car les trois dérivées partielles

fx = w , fy = zy* , /; = 3*»

ne s'annulent pour aucun système de valeurs de x, y, z, non nulles toutes trois. La Hessienne est ici

H = 63 xyz == o ou xyz = o ; elle se décompose donc en trois droites x = o, y — o, z — o, qui sont les axes coordonnés et la droite de l'infini. Les neufs points d'intersection de la Hessienne avec la courbe seront des points d'inflexion. On a ainsi, pour les coordonnées de ces neuf points, en appelant w une racine cubique imaginaire de l'unité,

x = o avec - = — 1, ou - = — w , ou - =: -— w2

y = o avec - = — 1 , ou -== — <o, ou - = — w*

z = o avec — = — 1, ou - = — w, ou - = — w2.