XX X

Les trois derniers points sont à l'infini. Les trois points

sont seuls réels. Ils sont en ligne droite sur la droite x + y + z = o. Classe de la courbe. La classe d'une courbe /(a?, y, z) = 0 est le nombre des tangentes qu'on peut mener à cette courbe par un point du plan. Soit M2 {x2 , yi , z2) un point donné : en exprimant que la tangente au point Mt (.'^ , yt , zj passe par M2 on a la condition

<9) #2 /;, + y*fit + z2fi = 0

qui, jointe à f(xi9 y^ zt) = o, détermine les points de contact des tangentes issues du point M2. Tout point Md non singulier dont les coordonnées vérifient ces équations est un point tel que la tangente en ce point passe par M2; l'équation (9) est d'ailleurs vérifiée par les coordonnées de tous les points singuliers, puisque ces coordonnées annulent fx{ 5 fy, ? f*r Si Ton considère xi , yi , zi comme coordonnées courantes, l'équation (9) représente une courbe d'ordre (m — 1) appelée la première polaire du point M2 par rapport à la courbe. Tout point commun à cette courbe et à la courbe donnée f=o est un point singulier ou un point de contact d'une tangente issue du point M2. Ces deux courbes ont m (m— 1) points communs; si la courbe proposée n'a pas de points singuliers, ces points communs sont tous des points de contact de tangentes issues du point M2. Donc, une courbe d'ordre m sans points singuliers est de classe m (m — 1).

Si la courbe a des points singuliers, le nombre des tangentes issues du point M2 est égal à m (m — 1) moins le nombre de points d'intersection de la polaire (9) et de la courbe qui sont confondus avec les points singuliers.

En supposant que les seuls points singuliers de la courbe soient des points doubles ou de rebroussement et désignant par d le nombre des points doubles, r celui des points de rebroussement, i celui des points d'inflexion et c la classe de la courbe, on démontre les formules suivantes dues à Piûcker*

c = m(m — 1) — id — 3r t = 3??2(m — 2) — 6d — 8;\

Exemple. Une courbe du troisième ordre sans point singulier est a> la sixième classe.

Prenons une courbe du troisième ordre avec un point double, parexemple la courbe ayant pour équation en coordonnées cartésiennes.

Les tangentes a l'origine sont données par l'équation

Y2-aX2=o;

si donc a est différent de zéro, l'origine est un point doublé à tangentes distinctes (réelles ou imaginaires suivant le signe de a); si a est

COORDONNÉES TRILINÊAIRES 423

nul, l'origine est un point de rebroussement et la tangente en ce point est l'axe OX. L'équation de la courbe rendue homogène est

f(x, y, %) = y2z + x2 (x — az) — o

d'où

f'x — 5x2 — saxz , f'y = zyz , f'z = y2 — ax2.

La première polaire d'un point M' (x\ yr, %') a pour équation

(i i) x' (3;x2 — sa xz) + sy'yz + *' (y2 — cix2) = o ;

cette polaire est une conique passant par le point double situé à l'origine x = o, y = o et avant pour tangente en ce point la droite

(12) axx' + yyr == o.

Si a est différent de zéro, l'origine est un point double à tangentes distinctes et la tangente (12) varie suivant la position du point M'. La conique polaire (n) coupe donc la courbe du troisième ordre en six points dont deux sont confondus avec le point double. Il ne reste donc que quatre de ces points d'intersection qui ne soient pas confondus avec le point singulier, et l'on ne peut mener du point M' que quatre tangentes. La courbe est donc alors de quatrième classe.

Si a est nul, l'origine est un point de rebroussement; la conique polaire (11) passe par ce point et la tangente à la conique en ce point a pour équation y = o comme la tangente à la courbe. La conique polaire est donc tangente à la courbe au point de rebroussement : elle la coupe en trois points confondus avec ce point singulier et en trois autres points qui sont seuls des points de contact de tangentes issues du point M'. La courbe est donc alors de troisième classe.

On pourra, comme exercice, former l'équation tangentielle de la courbe (10), c'est-à-dire la condition pour que la droite

uX + vY + w = o

soit tangente à cette courbe; on vérifiera que cette équation est du quatrième degré en u, v9 w et se réduit au troisième degré quand a = o.

3t>6. Courbes en coordonnées irilinéaires. — Soit F (a, (3, y) = 0 l'équation en coordonnées trilinéaires d'une courbe d'ordre m. Prenons, sur cette courbe, un point Mj ayant pour coordonnées trilinéaires a4 , (31? yi et, dans le plan, un point M (a, S, y). Cherchons les points où la droite M4M qui joint ces deux points coupe la courbe. Les coordonnées trilinéaires d'un point de cette droite sont (N° 33 1)

pour que ce point appartienne à la courbe, il faut et il suffit que X vérifie l'équation

FK + Xa, pâ+Xp, Yl+XY) = o

De cette équation, qui est entièrement semblable à l'équation (6), on déduit des conséquences identiques à celles que l'on a déduites de l'équation (6). On trouve ainsi que :

i° Si les trois dérivées partielles Ftti , F'Pi , F'Y ne sont pas nulles, la tangente au point Mâ a pour équation odP«l+pFpI + YFTl = o;

a0 Si les trois dérivées partielles Fit, , Fpt , FYf sont nulles, le point Mt est un point singulier;

3° Pour que le point Mj soit un point d'inflexion il faut que le Hessien

Fa,p, Fp4. F,

■ PJi

Fa,

soit nul; et réciproquement, si, en un point Mt non singulier \q Hessien est nul, ce point est un point d'inflexion.

Exemple. Considérons l'équation du troisième degré F («, p, y) = a* + ps + T3 + 6tapY o;

on démontre que l'équation de toute courbe du troisième ordre sans point singulier peut se ramener à cette forme par un choix convenable du triangle de référence.

L'on a actuellement

H = 63 ky p k« k$ k(A y ou en développant

H = 63 [— &2(a3 + P3 + T3) 4- (i + 2#3) «Py].

Les points d'inflexion seront les points d'intersection, au nombre de neuf, de la courbe proposés F = o avec la Hessienne H = o. Les équatons F = o et H = o sont des équations homogènes du premier degré

COORDONNEES TRILINEAIRES. 425

par rapport aux deux expressions «3 -f p3 + y8 , agy : le déterminant des coefficients de ces deux expressions est i + 8 k? ; si donc x -f 8 k? n'est pas nul, on tire des équations F = o , H == o les deux suivantes

a8 + P3 + ï3 = O , apy = O

qui donnent, pour les neuf points d'inflexion, les coordonnées

a = o avec p -f y = o , ou p -{- wy = o , ou p + w2ï = o p = o avec y + a = o , OU y -f «a = o , ou y -f- w2a = o y = o avec oc + P = o , OU a + o>p = o , OU oc -f w2P = o

u> désignant une racine cubique imaginaire de l'unité. Ces neuf points sont les mêmes quel que soit k. On voit facilement que la droite qui joint deux de ces points en contient un troisième.

Si ï + 8 k3 = o, les équations F = o et H — o représentent la môme courbe; alors la Hessienne coïncide avec la courbe proposée : tous les points de cette courbe sont des points d'inflexion, ce qui ne peut arriver que si elle est décomposée en trois droites. Effectivement l'équation

kz = — ô donne pour k trois valeurs

10) to2

Pour k = , la courbe F = o devient

F = a3-f P3 + y3 — 3aPy = (a+p + y) (a + wp + w2y) (a + w2P + <oy) = o,

elle est donc décomposée en trois droites; il en est de même si l'on

O) to^

prend A: = ou k = — —, comme on le voit en changeant, dans

l'identité ci-dessus, a en wa ou en w2<*.