LIMAÇON DE PASCAL

26. Par un point A pris sur un cercle, on mène une sécante quelconque AD, sur laquelle à partir du point D, où elle rencontre le cercle, on porte de part et d'autre une longueur donnée DM ou DN; le lieu des points M et N (flg. 19) est une courbe nommée limaçon de Pascal.

On obtiendra la courbe entière, en supposant que le rayon vecteur coïncide d'abord avec le diamètre AB du cercle, et tourne ensuite d'un angle droit dans un sens ou dans l'autre. On obtiendra aussi la courbe entière en faisant faire au rayon vecteur une révolution complète, et portant la longueur constante dans le sens du rayon, à partir du point où ce rayon ou son prolongement coupe le cercle. La courbe présente trois formes différentes, suivant que la longueur constante a est supérieure, égale ou inférieure au diamètre b du cercle. i° Considérons d'abord le cas où la longueur a est plus

grande que ô. Quand le rayon coïncide avec la direction AB, il faut, à partir du point B, porter sur ce rayon une longueur BG égale à a, ce qui donne un point G du lieu (fig. 19).

Lorsque le rayontour ne autour du point A et prend la direction AD, on a le point M. Quand le rayon a tourné d'un angle droit, le point D vient en A, et le point M en M'. Le rayon, continuant son mouvement, prend la direction AD' ; son prolongement coupe le cercle en Dâ; il faut, à partir de ce point D1? porter dans la direction même AD' une longueur D^ égale à a. Quand le rayon, ayant tourné de deux angles droits, occupe la position AX', lepointDj vient en B, et le point Mt en H; on a ainsi l'arc M'MiH, qui fait suite au premier, et qui est aussi extérieur au cercle. Le rayon dépassantla position AX' et

Fig. 19.

Fig. 20.

tournant encore de deux angles droits, pour revenir à la position initiale AX, le point mobile décrit l'arc HN'G, symétrique de l'arc GMH, par rapport à la droite X'X. Do cette

manière, le point décrit la courbe entière d un mouvement continu.

2° Supposons maintenant que la longueur a soit égale à b. Le rayon vecteur tournant de deux angles droits, à partir de la position initiale AX, le point M décrit l'arc GMM'A (fig.

20), qui vient aboutir au point A. La tangente en A est la droite AX', position limite de la sécante AMt. Le point A est un point de rebroussement.

3° Considérons enfin le cas où la longueur a est plus petite que b. Lorsque le rayon vecteur tourne d'un angle droit à partir de la position initiale AX, le point M décrit l'arc GMM' (fig. 21). Le rayon prend ensuite la direction AD'; le point D

vient en Dt, le point M en Ml Le rayon prend une direction AD" telle que la corde D2A est égale à a; le point Mt vient alors en A et la courbe est tangente à la droite AD". Le rayon continuant son mouvement, la corde D3A deyient plus grande que a, et, si l'on prend la longueur D3M3 égale à a, on a un point M3 situé à l'intérieur du cercle. Enfin, quand le rayon prend la direction AX', le point M3 vient en H. L'arc extérieur GM'A se prolonge ainsi suivant l'arc intérieur AM3H. L'autre moitié de la rotation donne l'arc HNA1N*G,

Fig. 21.

symétrique du premier par rapport à la droite X;X, et complète la courbe.

£7. Cherchons l'équation de la courbe en coordonnées polaires. Prenons le point A pour pôle, et la droite AX pout axe polaire. Appelons w l'angle que fait la direction du rayon vecteur avec la direction AX. Quand la direction même du rayon coupe le cercle, ce qui a lieu dans la position AD, le triangle rectangle ADB donne AD=b cos o>, et, par suite,

p = DM + AD = a + 6cosw.

Quand c'est le prolongement du rayon qui rencontre le cercle, ce qui a lieu dans la position AD', l'angle w est l'angle XAD'; le triangle rectangle BADt donne 1)^=— b cos w, et, par suite,

pr^DiMi— DjA^^a-f-^cosw.

Dans la figure 21, quand le rayon occupe la direction AD'", la longueur du rayon vecteur n'est plus portée dans la direction même de ce rayon, mais dans la direction opposée ; on convient d'appeler rayon vecteur du point M la quantité AM3 affectée du signe — ; on a alors

P = — AM3 = D3M8 — AD3 = a -f- b cos w.

Ainsi, dans tous les cas, la courbe entière est représentée par

(1) p = a-t-£cosw.

En coordonnées rectilignes, si l'on prend le point A pour origine, le diamètre AB pour axe des x, une perpendiculaire pour axe des y, l'équation de la courbe est

(2) (#2 + y2 — bx)2 = a2 {x" + ?/2).

On l'obtient en remplaçant dans l'équation (1) cos w par sa

valeur -, puis p2 par x*-\-y2 (n° 21), et élevant au carre pour

P faire disparaître le radical.

28. On obtient cette même courbe par un autre procédé. Étant donné un cercle GH et un point fixe A, imaginons qu'une tangente mobile CM roule sur le cercle, et du point A abaissons

une perpendiculaire AM sur cette tangente (fig. 22); on demande le lieu du point M.

Il y a trois cas à considérer, suivant que le point A est intérieur au cercle, sur le cercle, ou extérieur.

Supposons, par exemple, le point A extérieur au cercle. Lorsque la tangente touche le cercle en G, la perpendiculaire abaissée du point A coïncide avec le diamètre AG et Fîg' n' le point G est un point du lieu.

La tangente roulant sur le quart de cercle GCC, le point M décrit Tare de courbe GMM'. La tangente s'incline ensuite jusqu'à la position C"A, et l'on a l'arc de courbe M'A. La tangente continuant son mouvement suivant C"H, le pied de la perpendiculaire tombe au-dessous du diamètre et décrit l'arc de courbe ANH. Nous avons fait rouler la tangente sur le demicercle GG'H ; en la faisant rouler sur le demi-cercle inférieur, on obtient une partie symétrique de la première.

Cherchons l'équation de cette courbe en coordonnées polaires; désignons par a le rayon BG du cercle donné, et par b la distance AB. Si, par le centre B du cercle, on mène une parallèle BD à la tangente CM, on a

p= AD -f DM = b cos 03 -f- a.

Cette équation est la même que l'équation (1), d'où l'on conclut l'identité des deux courbes.

Au reste, il est facile de reconnaître géométriquement cette identité. L'angle D étant droit, le lieu du point D est le cercle décrit sur AB comme diamètre ; on obtiendra donc le point M en prolongeant la corde AD d'une quantité constante DM égale à BC.