D'après ce qui précède, on obtiendra les asymptotes
de cette espèce en cherchant les valeurs finies de x qui rendent Tune des valeurs de y infinie. Lorsque l'équation de la courbe est résolue par rapport à y, on aperçoit en général immédiatement ces valeurs; nous pouvons citer comme exemples la cissoïde et la strophoïde construites aux n08 20 et 23. Quand l'équation de la courbe est algébrique, mais non résolue par rapport à y, on procède de la manière suivante. Soit m le degré de l'équation, n le plus haut exposant de y ; on peut écrire l'équation sous la forme
ToWr+?i(*)r1+?»wr, + -=o»
¥0, ¥i, ¥2,- désignant des polynômes en #, de degrés au plus égaux km — w, m — n-\-i, m — n+2,... et après avoir divisé par yn,
Supposons qu'une branche réelle MN soit asymptote à une droite CD parallèle à l'axe des y et ayant pour équation x=a. Lorsque le point M s'éloigne à l'infini sur cette branche, son
abscisse x tend vers la valeur finie 0, tandis que - tend vers
zéro. Les termes de l'équation (1) à partir du second tendant vers zéro, on en conclut que l'abscisse a annule le polynôme <p0 [x). Ainsi les abscisses des asymptotes parallèles à taxe des y satisfont à l'équation yQ(x) = o.
359. Réciproquement, soit a une racine réelle de l'équation <po (x) = o ; il faut examiner s'il y a des branches réelles qui se rapprochent indéfiniment de la droite x = a et combien il y en a. Supposons d'abord que a soit racine simple de l'équation
Si l'on regarde x comme une fonction de - donnée par l'équation (1), quand - tend vers zéro, soit en étant positive, soit en
if
étant négative, une valeur de a?, et une seule, tend vers a; cette valeur de x est nécessairement réelle ; car, si elle était imaginaire, la racine conjuguée tendrait aussi vers la quantité réelle a qui serait alors racine double. On en conclut qu'il
existe deux branches réelles asymptotes à la droite x = a, l'une du côté des y positives, l'autre du côté des y négatives.
Supposons maintenant que a soit racine double de l'équation (dq(x) = o. Quand - tend vers zéro, deux valeurs de x
tendent vers a; ces valeurs peuvent être réelles ou imaginaires conjuguées. Si elles sont réelles pour les valeurs
positives très petites de -, il existe deux branches réelles
asymptotes à la droite x = a du côté des y positives. Si elles
sont aussi réelles pour les valeurs négatives de- très petites
en valeur absolue, il existe deux autres branches réelles asymptotes à la même droite, du côté des y négatives. Quand les deux racines sont imaginaires pour les valeurs positives
ou négatives de -, il n'existe aucune branche réelle asymptote à la droite x = a.
En général, soitp l'ordre de la racine a; parmi les p valeurs
de x qui tendent vers a quand -tend vers zéro, p—^q sont
réelles pour les valeurs positives très petites de -,p— ag'pour
les valeurs négatives. Il y aura p — iq branches réelles asymptotes à la droite x = a du côté des y positives, et p — iq' branches réelles asymptotes à la même droite du côté des y négatives; en tout ip — nq — iq' branches réelles asymptotes à la droite x = a, et nous remarquons que ce nombre est pair.
359 bis. — Dans le cas particulier où a est racine simple de y0(x), il est facile de déterminer la disposition de la courbe dans le voisinage de l'asymptote.
Soit yp{x), le premier des coefficients qui ne s'annule pas pour x = a, l'équation de la courbe peut s'écrire
<\>0{%), ^i(oo). . . <\>p-1 désignant des polynômes entiers en x dont le premier ne s'annule pas pour x = a. Cela posé, si Ton donne à x une valeur voisine de a et si
Ton considère l'une des p racines très petites del'équation en -,
le signe de chacune des parenthèses est le signe de son premier terme; d'autre part, ty0(x) et ' yP(x) ont respectivement même signe que ty0(a) et <p(a).
D'après cela, il suffit de considérer l'équation binôme
et d'y supposer successivement x un peu inférieur à a, puis x un peu supérieur à a.
(On a déjà employé un procédé analogue n° 354 bis).
Ainsi, lorsque dans l'équation ordonnée par rapport aux
puissances croissantes de - le premier terme admet a comme
racine simple, on peut réduire l'équation à ce terme et au premier des termes suivants dont le coefficient ne s'annule pas pour x = a. On peut même remplacer x par a clans les facteurs qui ne s'annulent pas pour x~ a.
360. Nous avons, jusqu'à présent, dans l'équation (i), regardé x comme fonction de -; on peut au contraire regarder- comme fonction de x. Supposons d'abord que la racine
réelle a du polynôme <p0(#) n'annule pas <p4(a?); quand x tend vers a, une seule valeur de - tend vers zéro, et cette valeur
est nécessairement réelle. Il existe donc deux branches réel-
les, asymptotes à la même droite x=a, et données, Tune par les valeurs de x plus petites que a, l'autre par les valeurs plus grandes ; ces deux branches sont situées de part et d'autre de l'asymptote.
Pour achever de déterminer leur position, faisons varier x de a — hka-\-h,k étant assez petit pour que, dans cet intervalle, l'équation cp0 (x)—o n'ait que la racine a et que Î3 polynôme <pt (x) ne s'annule pas; on peut supposer en outre h et
par suite - assez petits en valeur absolue, pour que, quand on attribue à x et à - les valeurs simultanées qui correspondent à
un point de l'une des branches infinies, la valeur du polynôme
ait constamment le signe de son premier terme cp4 [x) -. Mais, d'après l'équation (1), la valeur decepolynôme est égale à — cp0(#); on en conclut que les deux quantités <p t (x) - et — <p 0 [x) ont le même
signe, et par suite que-ale signe de — ~M. Quand avarie de a— h à a-\-h, le dénominateur <pt (x) conserve le même signe;
Fig. 226. Fig. 227.
si a est racine simple, ou plus généralement racine d'ordre impair, de l'équation <p0(a?)=o, le numérateur <p0 (x) change de
ASYMPTOTES. 43i
signe pour x=a; la valeur de y change elle-même de signe et les deux branches sont dirigées, l'une vers une extrémité de l'asymptote, l'autre vers l'autre extrémité (fig. 226), comme cela a lieu dans l'hyperbole. Lorsque a est racine d'ordre pair, le numérateur conserve le même signe, ainsi que y ; les deux branches sont dirigées vers la même extrémité de l'asymptote (fig. 227).
Supposons maintenant que a annule les polynômes successifs <pt, <p2> ... <pP-i- Quand x tend vers a, p valeurs de -- tendent vers zéro; de ces valeurs, p — o,q sont réelles pour les valeurs de x inférieures à a, p — o.qr pour les valeurs de x supérieures à a; on aura ainsi ip — iq — iqr branches réelles asymptotes à la droite x=a.
Exemple I. Soit la courbe définie par l'équation
a? V + (%2 — 4) {y — ®Y = ° qui, ordonnée, s'écrit
(x*>+x2— ^f-l\x[x2-^f+6x2{x2— 4)?/2— 4a53(o?2— 4)2/+a?4(«s—4)=o« L'équation bicarrée
<p0(o?) = xk + x2 — 4 = o a deux racines réelles simples et de signes contraires,
Comme ces valeurs de x n'annulent pas <p4 (o?), chacune des droites œ=z±za est asymptote à deux branches réelles, situées de part et d'autre de la droite et dirigées vers les deux extrémités.
Exemple II. Soit la courbe (x— i)2y2 + 4 — x2 = o. L'équation <p0(œ) = o devient (x — i)2 = o. Cette équation admet la racine double x= 1; or, quand x s'approche de l'unité, les deux valeurs de y sont imaginaires; la droite x = 1 n'est donc asymptote à aucune branche réelle.
ASYMPTOTES NON PARALLELES A L'AXE DES y.
361. Considérons une branche de courbe infinie MN (fig. 228) ayant une asymptote CD non parallèle à Taxe des y, une pareille asymptote a pour équation
yl = cx + d, cet d étant deux constantes inconnues qu'il s'agit de détermi-
ner. Représentons par y et yt les ordonnées de la branche
de courbe et de la droite qui correspondent à une même abscisse, par S la différence y— Vu c'est-à-dire MR; d'après la définition, S est une fonction de x qui a pour limite zéro quand x augmente indéfini- Fig. 228. ment. La branche de courbe
infinie que nous considérons est donc représentée par l'équation
(2) y=yi + $=ca: + d+8.
Quelquefois on peut mettre facilement l'équation de la
branche de courbe sous la forme précédente, et alors on a de
¥(x) suite l'asymptote. Soit, par exemple, l'équation y=~~^, dans
laquelle f (x) et F (x) représentent deux polynômes entiers en x, le premier du degré m, le second au plus du degré m-\-i. A chaque racine réelle de l'équation f(x) =0 correspondent deux branches réelles infinies, asymptotes à une même droite parallèle à l'axe des y, situées de part et d'autre de la droite, et dirigées vers les deux extrémités opposées ou vers la même extrémité, suivant que la racine a est d'ordre impair ou pair. Il y a, en outre, deux autres branches infinies que l'on obtient en donnant à x des valeurs très-grandes, positives ou négatives. Si l'on effectue la division, en ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de x, on obtient un quotient entier ex + ày qui est au plus du premier degré, et l'on a
•.cx + d+pà.
9 (x) étant un polynôme entier d'un degré inférieur à m; cette dernière fraction tendant vers zéro, quand x augmente indéfiniment, on voit que la droite y^-=^cx-\-d est asymptote aux deux branches que nous considérons.
Nous citerons encore, comme exemple, la courbe transcendante
qui a une branche infinie située dans l'angle YOX et asymptote à la droite y = x.
362. En général, on n'obtient pas aussi facilement les asymptotes. Revenons à l'équation (i). On en déduit
Puisque d a une valeur finie et que 8 tend vers zéro quand x augmente indéfiniment, on a
(3) c = limite de -•
Le coefficient angulaire de Vasymptote est égal à la limite vers laquelle tend le rapport -, quand x augmente indéfiniment.
Le rapport - étant le coefficient angulaire de la droite OM,
la relation (3) signifie que cette droite tend vers une position limite OE parallèle à l'asymptote CD, quand le point M s'éloigne à l'infini sur la branche MN.
La même équation (2) donne d=y — ex — S, d'où
(4) d = lim de (y — ex) .
L'ordonnée à V origine de Vasymptote est égale à la limite de la différence y — ex, quand x augmente indéfiniment.
La quantité y— ex étant l'ordonnée MQ de la courbe, comptée à partir de la droite OE parallèle à l'asymptote, la relation (4) signifie que cette ordonnée tend vers une limite OB, lorsque le point M s'éloigne à l'infini sur la branche MN.
Les deux relations (3) et (4) déterminent les asymptotes non parallèles à l'axe des y.
Supposons d'abord l'équation résolue par rapport à y, et considérons une détermination de y qui donne une branche réelle infinie, quand x augmente indéfiniment. On prend, pour
cette branche, le rapport ~; si ce rapport ne tend pas vers une
GÉOM. ANALYT. 28
limite finie, la branche n'a pas d asymptote. Si le rapport tend vers une limite finie c, on considère la différence y — ex; lorsque cette différence ne tend pas vers une limite finie, la branche n'a pas d'asymptote ; si, au contraire, elle tend vers une limite d, on aura y — cx—d-\-B, S tendant vers zéro quand x augmente indéfiniment ; donc la droite yx —cx-\-d sera asymptote de la branche que Ton étudie.
Exemple I. Construire la courbe
'=±Vs
rapportée à des axes de coordonnées rectangulaires. L'axe OX est axe de 3a courbe. Lorsque x varie de o à , l'unité, y reste finie ; elle est d'abord nulle et redevient égale à zéro; on a ainsi la boucle 0A0 (fig. 229). Pour les valeurs de a? comprises entre 1 et 2, y est imaginaire, Quand x dépasse 2 d'une petite quantité, y est réelle et très-grande ; si donc on prend - OB égale à 2 et que l'on mène G'G parallèle à OY, cette droite sera asymptote de deux branches de la courbe.
Faisons croître x à partir de 2, y commence par diminuer et redevient très-grande quand x est grande; on obtient ainsi les deux branches CND, C'N'D'. Lorsque x est négative, y est toujours réelle; x variant de o à — 00 , la valeur numérique de y varie
également de o à 00 , et l'on a les deux branches OE, OE'.
Considérons l'une des branebes infinies, ND par exemple; on l'obtient en prenant le signe + dans l'équation et en supposant x positive et très-grande. On a
la limite de - est l'unité. On a ensuite
et, en multipliant les deux termes par la somme des radicaux,
y — xz
s/x — i{sjx — i -\-\/œ~- - q)1
la limite est -; donc la droite yz=zx-\- - est asymptote de la branche
considérée. En divisant par a? les deux termes de la fraction, on voit que
la différence y — x est plus grande que * , et, par conséquent, que
l'ordonnée de la courbe est plus grande que celle de l'asymptote ; on en conclut que la branche ND est située au-dessus de l'asymptote. On verrait de même que la branche OE' a pour asymptote la même droite et qu'elle est placée au-dessous. Les deux branches N'D' et OE admettent pour asymptote une droite symétrique de la précédente, par 7apport à l'axe OX.
Exemple IL Considérons la courbe y4 — y3x + xz — 2X2y = o, construite au n° 34a. Nous avons exprimé les deux coordonnées as et y
U à l'aide de la variable auxiliaire t = - . Les deux branches 0 A et OB,
que l'on obtient en faisant tendre t vers zéro, n'ont pas d'asymptote,
puisque y devient infinie. On obtient les deux branches infinies OC et
OD quand t tend vers l'unité. Pour ces branches, on a lim - = i;
cherchons si la différence y—x a une limite. Les formules, par
lesquelles on exprime x et y au moyen de t, donnent
cette différence tend vers l'unité, quand t tend vers 1. Il en résulte que les deux branches considérées ont pour asymptote la droite
y =#4- 1. La différence 5 a pour valeur 8 = - ^3 -; quand
t varie de 1 à + 00 , la différence 8 est négative et la branche OD est située au-dessous de l'asymptote. Le polynôme t2 + t — 1 admet pour
racines f=ZZl±iLË, f = — ^V5; quand t varie de - à t', S est
négative et l'arc OE est au-dessous de l'asymptote ; t variant de f â 1, 8 devient positive, et l'arc EG passe de l'autre côté de l'asymptote. L'autre racine f donne le point F où la branche OA coupe l'asymptote.
363. Considérons maintenant le cas où l'équation, supposée algébrique et entière, n'est pas résolue par rapport à la variable y. Réunissons les termes du même degré; représentons par 9 {x, y) l'ensemble des termes du degré le plus élevé m, par 4> (x, y) l'ensemble des termes du degré m — 1, par 1 (x, y) les termes du degré m— 2, , l'équation s'écrira :
Désignons par u le rapport -, et dans l'équation (5) remplaçons y par ux\ le polynôme 9 {x, y), homogène et du degré m en x et y, renfermera le facteur xm commun à tous ses termes, et l'on aura <p(#, y)=xmy(i, u), ou, pour abréger, xmy(u). De même, les polynômes 9 (a?, y), %[x, y),... deviendront
tf™-1^ (u), xm~2x (u), L'équation entre x et u sera donc
#m9 {u) -f xm~l ^ (u) -f xm~2x (t*) + = o-
et, si l'on divise par xm,
(6) ïM+^+M + ^xM = 0.
Supposons qu'une branche réelle MN (fig. 227) soit asymptote à une droite CD, non parallèle à l'axe des y. -Quand le point M s'éloigne à l'infini sur cette branche, u tend vers une
limite finie c, tandis que - tend vers zéro. Les termes de
l'équation (6), à partir du second, tendant vers zéro, on en conclut que la valeur u=c annule le polynôme 9 (u). Ainsi les coefficients angulaires des asymptotes satisfont à V équation
cp(ft)=0.
Posons maintenant y — cx=v, d'où u — - = c4-~. En met-
tant à la place de u cette valeur, et développant chaque terme,
l'équation (6) devient
Puisque cp(c)=o, si Ton multiplie par x, elle prend la forme
(8) W{c) + Hc)] + A1- + B~+.
Quand le point M s'éloigne à l'infini sur la branche MN, v tend vers une limite finie d, tandis que - tend vers zéro. Les
termes de l'équation (8), à partir du second, tendant vers zéro, on en conclut que la valeur v=d annule le premier terme vy'(c)-\-ty(c). Si c est racine simple de l'équation ç(w) = o, la quantité <p' (c) étant différente de zéro, on obtient pour d la valeur finie
304. Réciproquement, soit c une racine simple réelle de l'équation y(u)=o; considérons la valeur finie correspondante d donnée par l'équation (9), et construisons la droite CD, qui a pour équation y = cx-\-d. D'après l'équation (8),
quand - tend vers zéro, une valeur
de v et une seule tend vers d; cette valeur, nécessairement réelle, désigne l'ordonnée MQ, comptée à partir de la parallèle OE à CD ; on en conclut qu'il existe deux branches réelles asymptotes à la droite CD, l'une du côté des x positives, l'autre du côté des x négatives (fig. 23o).
Supposons maintenant que c soit racine d'ordre p de <p (u),
et n'annule pas 4> (u) ; d'après l'équation (8), quand - tend vers
zéro, chacune des valeurs de v devient infinie ; car, si une valeur de v conservait une valeur finie, les coefficients A, B,... resteraient finis, et l'équation (8) se réduirait à<]> (e)=o, ce qui est contraire à l'hypothèse. D'après l'équation (6), quand
- tend vers zéro , p valeurs de u tendent vers c ; parmi ces p va-
leurs, p — - zq sont réelles pour les valeurs positives très-petites
de -, p — nq' pour les valeurs négatives. Menons la droite OE,
dont le coefficient angulaire est c. A chaque valeur réelle de u correspond une droite OM faisant un très-petit angle avec OE ; le point M, où cette droite coupe la parallèle à Taxe des y, ayant
pour abscisse x, appartient à la courbe ; quand - tend vers zéro,
l'ordonnée v=MQ devenant infiniment grande en valeur absolue, la branche décrite par le point M est dépourvue d'asymptote et analogue à une branche de parabole. A la direction c correspondent un nombre pair ip-— zq—zq' de branches paraboliques. Examinons le cas où c est racine double de l'équation <p (w) = o, et annule ty (c). L'équation (7) devient
Quand - tend vers zéro, deux valeurs de v tendent vers des
limites finies qui sont les racines de l'équation
(11) J^^ + ^WHxW = o.
Si les deux racines d et â! de cette équation sont réelles et
inégales, une valeur de v tend vers d, quand - tend vers zéro;
elle est réelle et donne deux branches réelles asymptotes à la droite y=cx-\-d. La valeur de v qui tend vers d! donne de même deux branches réelles asymptotes à la droite y=cx-\-d'> parallèle à la première. Si les racines de l'équation (11) étaient égales, on ne pourrait plus rien affirmer; on ferait une nouvelle transformation en posant v=d-\-w.
364 bis. Il est facile de trouver la disposition de la courbe dans le voisinage d'une asymptote, lorsque l'ordonnée à l'origine d de cette asymptote est racine simple du premier
terme de l'équation en — .
Pour cela, on réduit l'équation en— à son premier terme,
et au premier des termes suivants dont le coefficient ne s'annule pas pour v = d. On peut même ensuite remplacer v par d dans les facteurs qui ne s'annulent pas pour v=d. (Voir n° 359 bis.)
305. Remarques. Nous avons vu qu'une racine simple c de l'équation ®(u) = o donne deux branches réelles asymptotes à la droite CD, qui a pour équation y == ex + d. Si l'on attribue à v une certaine valeur, l'équation (8), dans laquelle on
regardera — comme l'inconnue, déterminera les points d'in-
tersection delà courbe et d'une parallèle y = cx-{- vk l'asymptote. L'équation (7) étant du degré m par rapport à— ,1'équa-
tion (8) est du degré m — 1 ; on en conclut qu'une parallèle à l'asymptote coupe la courbe au plus en m — 1 points. Quand on attribue à v la valeur particulière d, l'équation s'abaisse au degré m — 2; l'asymptote rencontre la courbe au plus en m — 2 points.
Considérons maintenant le cas où c est racine double et annule ^(c); l'équation (10) étant du degré m— -2 par rapport
à —, une parallèle à la droite y = ex coupe la courbe au plus
en m — 2 points. Si les racines de l'équation (n) sont réelles et inégales, chacune des deux asymptotes coupe la courbe au plus en m — 3 points.
Exemple Soit la courbe yK —y*x-\-%z — 9,x^y = o, construite au n° 342. On a <?(w) = uk — v? = u*(u 1) — , ty(u) = i — 2U. L'équation q(u) = o a une racine triple égale à zéro et une racine simple égale à 1. La racine simple c = 1, à laquelle correspond d = 1, donne une droite y = x 4- 1 asymptote à deux branches réelles. La racine triple ne pourrait donner que des asymptotes parallèles à OX ; mais il est évident, d'après l'équation de la courbe, qu'aucune des valeurs de y ne tend vers une limite finie, quand x augmente indéfiniment.
L'équation (8) est ici
' X X2 xz
Si l'on y fait v = ï, on obtient une équation du second degré
qui donne les deux points E et F où l'asymptote coupe la courbe
(flg. 2l5).
366. Il est facile de ramener l'étude des branches infinies d'une courbe algébrique à celle des branches finies d'une courbe algébrique du même degré. Soient x et y les coordonnées d'un point quelconque M d'une première figure; à ce point M faisons correspondre le point M' dont les coordonnées x' et y' sont données par les relations
x ~ x> y ~ x' desquelles on déduit inversement
Si le point M décrit une droite kx + By -f G = o, le point M' décrit une droite correspondante Cas' -f- Byr + A = o; le coefficient angulaire de chacune des droites est égal à l'ordonnée à l'origine de l'autre. Plus généralement, si le point M décrit une courbe du degré m, le point M' décrit une courbe correspondante du môme degré; à une sécante passant par deux points voisins de l'une des courbes correspond une sécante passant par deux points voisins de l'autre courbe, et, par conséquent, à une tangente correspond une tangente. Nous pouvons supposer que la première courbe est rapportée à des axes tels que l'équation, renferme un terme en ym; alors on n'obtient des branches infinies qu'en faisant augmenter x indéfiniment, et toutes
les valeurs du rapport— tendent vers des limites finies. D'après cela,
si le point M décrit une branche infinie de la première courbe, comme x' tend vers zéro et y' vers une valeur finie c, le point M' décrira une branche aboutissant sur l'axe des y à un point k! dont l'ordonnée est c (fig. 23i). On ramène de la sorte l'étude des branches infinies de la première courbe à celle des branches de la seconde courbe dans le voisinage des points situés Fis- 23,« sur l'axe des y.
Soit A' un point où la seconde courbe coupe l'axe des y\ appelons d
le coefficient angulaire de la tangente en ce point; pour un point M'
voisin de A' on aura- — — = d + s> s tendant vers zéro avec xr; la
branche A'M' de la seconde courbe est donc représentée par l'équation y' = c + dxr + Bx ; à cette branche correspond une branche infinie de la première courbe ayant pour équation y = ex -f- d + 8, 8 tendant vers zéro quand x augmente indéfiniment; à la tangente yT = c + dx' à la seconde courbe correspond l'asymptote y = ex -f- d à la première. On sait que du point A' partent toujours un nombre pair de branches ayant la même tangente (n° 353); la première courbe admet donc un nombre pair de branches infinies ayant la même asymptote. La tangente en A' étant la limite de la tangente en M', il en résulte que l'asymptote est la limite de la tangente au point M, quand ce point s'éloigne à l'infini.
Supposons, par exemple, que le point A' soit un point simple ordinaire, comme l'indique la figure 23 1; d'après le signe de 8, on voit qu'à la branche A'M' correspond une branche infinie M située audessus de l'asymptote vers la droite, et à la branche A'N' une deuxième branche infinie ' N située au-dessous de l'asymptote vers la gauche. S'il y avait inflexion en A' (fîg. 232), les deux branches infinies seraient situées . toutes deux d'un même côté de l'asymptote, l'une vers la droite, l'autre vers la gauche ; dans ce cas, on dit que la courbe a un point d'inflexion à l'infini.
Si le point A' est un point double à tangentes distinctes, on a deux asymptotes parallèles, à chacune desquelles correspondent deux branches infinies ayant l'une des dispositions précédentes. Lorsque le pbint double A' est un point de rebrousseraient, on a deux branches asymptotes à la même droite, mais vers une même extrémité.
Nous avons supposé jusqu'à présent que la tangente en A' ne coïncide pas avec l'axe des y; lorsque cette circonstance se présente, aux branches qui partent du point A' correspondent dans la première figure des branches infinies dépourvues d'asymptotes. La direction de la tangente au point M tend vers la direction déterminée par le coefficient angulaire c; mais elle s'éloigne à l'infini. On donne à ces branches infinies le nom de branches paraboliques. Si le point A' est un point simple ordinaire, les deux branches infinies sont dirigées dans le même sens, comme cela a lieu dans la parabole ordinaire. S'il y a inflexion en A', les deux branches sont dirigées dans des sens contraires. La courbe représentée par l'équation yz =x
Fig. 232.
offre cette disposition; elle se compose de deux branches infinies dépourvues d'asymptote et dirigées, l'une vers les x positives, l'autre vers les x négatives.
367. Puisqu'à chaque valeur de x correspondent au plus m valeurs réelles de y, la première courbe admet au plus m branches infinies du côté des x positives et m branches infinies du côté des x négatives; ceci résulte d'ailleurs de ce que la seconde courbe est coupée au plus en m points par l'axe des y. Le nombre des tangentes à la seconde courbe en ces points d'intersection étant au plus égal à m, la première courbe admet au plus m asymptotes.
Les droites menées par le point A' se transforment en droites parallèles à l'asymptote. Si le point A' est un point simple (n° 554), un^ sécante menée par ce point coupe la seconde courbe en m — i autres points; donc toute parallèle à l'asymptote coupe la première courbe en m — i points. La tangente en A' ne coupe la seconde courbe qu'en m — 2 autres points, et, par conséquent, l'asymptote ne coupe la première courbe qu'en m — 2 points; on dit que deux points d'intersection sont à l'infini.
S'il y a inflexion en A', comme la tangente coupe la seconde courbe en trois points qui se confondent en A' (n° 345), l'asymptote aura trois points d'intersection à l'infini, et, par conséquent, ne rencontrera la première courbe qu'en m — 3 points.
368. La transformation que nous avons effectuée revient à prendre la perspective de la figure sur un plan. Considérons, en effet, deux figures placées l'une dans un plan horizontal, l'autre dans un plan vertical coupant le plan horizontal suivant la ligne LT (fig. 233), et telles que Tune soit la perspective de l'autre, l'œil étant placé au point dont les projections sont o et o'. Il est visible que, lorsqu'un point M s'éloigne à l'infini dans le plan vertical, sa perspective M' vient sur la droite o'yr parallèle à la ligne de terre; l'étude des branches infinies de la courbe située dans le plan vertical est ainsi ramenée à l'étude de l'autre courbe dans le voisinage des points situés sur la droite o'y'.
/Pi\c
/ hv
Fig. 233.
ab
Si Ton rapporte l'une des courbes aux deux axes ox et oy, l'autre aux deux axes o'x' et o'y\ on a les formules de transformation
by ' x'
dans lesquelles a et b désignent les distances ao' et aO. Ces formules sont précisément celles que nous avons employées précédemment, quand on fait a = b = i.
Soit A' un point où la seconde courbe coupe la droite ory'; la tangente A'B en ce point a pour perspective la droite AtA; aux deux branches M' et N', qui partent du point A', correspondent deux branches infinies M et N asymptotes à la droite AAt.
Lorsque la tangente en A' coïncide avec la droite o'y', comme cela a lieu au point G', l'asymptote est rejetée à l'infini et les deux branches P' et Q' donnent naissance à deux branches paraboliques infinies P et Q ; la droite menée du point o à un point de l'une des branches P et Q tend vers la direction limite oGt.
369. Les courbes transcendantes peuvent couper leurs asymptotes en une infinité de points.
Fig. 234.
3 sin x Par exemple, la courbe|/=: oscille indéfiniment de part et
d'autre de la droite OX à laquelle elle est asymptote, puisque la valeur de y a pour limite zéro (fig. 234). Les oscillations ont une amplitude constante et égale à tc.
Fig. 23$.
La courbe y =
sin x2
oscille indéfiniment de part et d'autre de son
asymptote OX; mais ici l'amplitude des oscillations va en diminuant (fig. 255).
Nous avons vu (n° 36o) que, dans les courbes algébriques, si une branche infinie a une asymptote, la tangente tend une position limite, qui est l'asymptote elle-même, lorsque le point de contact s'éloigne à l'infini sur la branche de courbe. Mais ceci n'est pas vrai d'une manière générale dans les courbes transcendantes ; ainsi, dans l'exemple précédent, le coefficient angux laire de la tangente,
Fig. 236.
, n OUI Oj
ne tend pas vers une limite ; car le second terme tend vers zéro, et le premier oscille entre — 2 et -f 2.
Il arrive quelquefois que deux branches infinies n'ont pas d'asymptote rectiligne, et que cependant la différence de leurs ordonnées tend vers zéro; dans ce cas, on dit que les deux courbes sont asymptotes l'une de l'autre; si l'une d'elles est une courbe simple bien connue, on pourra s'en servir pour tracer
l'autre. Reprenons l'équation y
et supposons que le degré
du numérateur surpasse de plus d'une unité le degré du dénominateur; le rapport — croissant indéfiniment avec %, les branches qui
correspondent aux valeurs très grandes de x, positives ou négatives, n'ont pas d'asymptote rectiligne. Si l'on effectue la division, on a
: axn + bx71-1 +
et les deux branches considérées sont asymptotes à la courbe
y = axn -f bx'1-1 +...+#.
Quand n = 2, cette seconde courbe est une parabole. Par exemple, la courbe
XS + T
est asymptote à la parabole y = x* (fi g. 256).
