CHAPITRE IV

Construction des courbes en coordonnées polaires.

370. Nous avons défini les coordonnées polaires au n° 3 ; dans ce système, un point quelconque, pris isolément dans le plan, peut être déterminé par une valeur de c*> comprise entre o et 2^, et par une valeur positive de p ; cependant on est conduit à faire varier chacune des coordonnées w et p de — oo

Nous avons vu (n° 263) que, l'un des foyers de l'hyperbole étant pris pour pôle, les deux branches sont représentées par deux équations distinctes, quand on se borne aux rayons vecteurs positifs; mais que l'une des équations suffit, si l'on admet les rayons vecteurs négatifs, en convenant de porter la valeur absolue de chacun d'eux dans la direction opposée à celle qu'indique la valeur de w. Nous avons vu aussi que cette convention permet de représenter le limaçon de Pascal par une seule équation (n° 27).

371. Spirale d'Archimède. Un point M se meut d'un mouvement uniforme et dans le sens G' G sur une droite indéfinie G'OG, qui tourne elle-même d'un mouvement uniforme autour de l'un de ses points 0 :1a courbe décrite par le point M est la spirale d'Archimède (fig. 237).

Prenons pour axe polaire la position OX, occupée par la droite OG lorsque le mobile M passe en 0, et comptons les angles polaires positivement dans le sens de la rotation de la droite ; soit a la longueur dont le mobile s'avance sur la droite, pendant que celle-ci fait une révolution entière. Si Ton considère le mobile dans l'une quelconque de ses positions après son passage en 0, en appelante l'angle dont a tourné la direction OX pour venir sur OG, et p la distance du

mobile au point 0, on a, en posant — = b,

(ï) - = — , ou P = a — = ôo>.

a 2TC* V 27T

Considérons le mobile avant son passage en 0; appelons to1 la valeur absolue de l'angle dont il faut faire tourner la direction OX

P = 6w,p = a -f- bu

pour Tamener sur OG; le point M étant placé sur la direction opposée OG', le rayon vecteur doit être considéré comme négatif, et Ton a

— = ~ • Si Ton convient de regarder comme négatifs les angles polaires comptés dans un sens opposé au premier, on aura w = — Wl, et la relation précédente coïncide avec l'équation (i) qui représente alors la courbe indéfinie. Les valeurs de o> comprises entre o et 2nf an et 4wv> ° et — 2tc,..., donnent les spires successives. Si l'on se bornait aux valeurs positives de p et aux valeurs de w comprises entre o et 27T, il faudrait une équation particulière pour représenter chacune des spires,

p = a— bo, p = 2a— -ôw,...

La spirale d'Archimède se compose de deux parties

OBjCjDjAjBa...

et

OB^D.FjBa..., symétriques l'une de l'autre par rapport à la perpendiculaire OY à l'axe polaire. Chaque partie comprend une infinité de spires, et les portions d'une droite quel- Fig. 237. conque menée par le pôle et com-

prise entre deux spires consécutives ont toutes pour longueur o.