Remarque IL Dans les formules de transformation
Sq
cJ /
JeJà, x
Fig. 238.
établies au livre Ier, chapitre iv, nous avons supposé le point M déterminé par un rayon vecteur positif et par un angle polaire compris entre o et 27c. Conservant d'abord le rayon vecteur positif, on peut prendre pour angle polaire l'un quelconque des angles que forme la direction OM avec l'axe OX (fig. 239), en convenant d'affecter l'angle du signe -f ou du signe-—, suivant qu'une droite partant de la direction OX pour arriver à la direction OM tourne de OX vers OY, ou dans le sens opposé. Ceci "£' revient à augmenter ou à diminuer
Flg* 239' l'angle désigné primitivement par w,
d'un multiple de 2-k ; le sinus et le cosinus ne changeant pas, les formules restent les mêmes. Supposons maintenant le point M défini par un rayon vecteur négatif; l'angle w sera l'un des angles formés par la direction OM' avec OX. La projection de OM sur OX étant égale à (— p) X cos (tt -}-<*>) ou p cos (o, on a encore #=p cos <*>, et de même ?/=p sin w. Donc les formules sont générales.
Lorsque l'axe polaire OX7 ne coïncide pas avec OX, on définit la position de cet axe par l'angle a qu'il fait avec OX. Si , dans les formules #=p cos w, y = ? sin ta, qui se rapportent à l'axe polaire OX, on rem- Fig. 240. p|ace w par w# ^ ^ -j vient x p cos (w' j a^
y = psin K + a).
Supposons maintenant les axes des coordonnées obliques, et prenons OX pour axe polaire (fig. 240) ; on obtient les formules de transformation en projetant les deux chemins OM et OPM successivement sur une perpendiculaire à OX et sur une perpendiculaire à OY, ce qui donne
p sin (8 — oa) p sinu>
X~ sînô * y~"sinO-
374. Remarque III. Dans le cas où l'on obtient toute la courbe en faisant varier w de 0 à 2?r, on reconnaît la symétrie par rapport à Taxe polaire OX, quand les valeurs a et z% — a
attribuées à <o reproduisent la même valeur de p, ou quand les valeurs a et ir — a donnent des valeurs de p égales et de signes contraires. On reconnaît de même la symétrie par rapport à la perpendiculaire OY, quand les angles a et tc — a donnent la même valeur de p, ou les angles a et a-ru — a des valeurs égales et de signes contraires. Enfin on reconnaît la symétrie par rapport au pôle, quand les angles a et rc-f-a donnent la même valeur de p, ou quand à un même angle a correspondent deux valeurs de p égales et de signes contraires.
Mais lorsque, pour avoir toute la courbe, il est nécessaire de faire varier w au delà de 2tt, la symétrie peut se présenter d'une autre manière. Par exemple, s'il est nécessaire de faire varier m de o à fa, la symétrie par rapport à l'axe polaire aura lieu, si les angles a et 27c-— a, ou a et 4^— a, donnent des valeurs égales pour p, et encore si les angles a etir — a, ou a et 3tt — a, donnent des valeurs de p égales et de signes contraires. Si les limites de w sont plus étendues, le nombre des comparaisons à faire augmente.
Considérons, par exemple, la courbe définie par l'équation p = cos— #
Quand w augmente de deux fois 2-rc, la direction du rayon redevient la même ;
d'ailleurs, — augmentant de arc, p reprend la même valeur et l'on retrouve Âx un point déjà obtenu antérieurement; il suffit donc de faire varier wdeoà 471» Si l'on augmente w de 2?:, le rayon re-
w vient à la même direction; mais — augmentant seulement de w, p conserve la même valeur numérique en changeant de signe; on en conclut que la portion du lieu donnée par les valeurs de w comprises entre 2ir et 4* est symétrique par rapport au pôle de la partie donnée par les valeurs de w comprises entre o et 2tc; en d'autres termes, le pôle est centre de la courbe. Pour w = aet co=2tt— a, les valeurs de p sont égales et de signes contraires ; on a, de la sorte, deux points placés symétriquement par rapport à la perpendiculaire OY à l'axe polaire (fig. 241); cette droite 0\ est un axe de la courbe. La variable « allant de o à rc, p diminue de 1 à o, et Ton a Parc ABO tangent au point O à la droite OX'. Les valeurs de w comprises entre rc et air donnent l'arc OBA' symétrique du premier
par rapport à OY, et les valeurs de w comprises entre 2tt et 4* la courbe A'B'OB'A symétrique de ABOBA' par rapport au pôle. La courbe est formée de quatre arcs égaux. L'axe polaire est aussi un axe de la courbe, ce qu'on voit directement en remarquant que l'on a des valeurs égales de p pour les valeurs a et 4^ — a attribuées à «,
TANGENTE
37o. Soit M un point d'une courbe rapportée à des coordonnées polaires. Considérons la tangente MT en un point M (fig.
242) et le prolongement MA du rayon vecteur dans le sens OM; nous appellerons V l'angle dont il faut faire tourner autour du point M, dans le sens positif, le prolongement MA du rayon vecteur pour le faire coïncider avec la tangente. Pour déterminer V, appelons p et <o les coordonnées du point de contact M, p + Ap , co -f Au celles d'un point M' voisin de M et U l'angle de MA avec la corde MM'. Quand le point M' se rapproche indéfiniment de M, la corde MM' tend vers la tangente MT et l'angle U tend vers V.
Fig, 242.
Le triangle OMM' donne -^
OM sin OM'M sin (U — Ao)
OM' sin OMM'
sin U
Comme Ap tend vers zéro quand le point M' tend vers M, on peut le supposer assez petit pour que p et p -f- Ap aient le même signe : donc on a en grandeur et en signe
OM p OM'
■p + Ap'
et l'équation ci-dessus donne
p + Ap
sin (U — Aco) sin U
GEOM. ANALYT.
d?où
sin (U — Aw)
Aa> i sin (U
Aco)
Ap sin U — sin (U — Aw) . Aw i '
— i sin — cos(u Aoo)
Aw Aco i i
Ap Quand Aw tend vers zéro, le rapport-1 tend vers la dérivée p' de p par rapport à <o, et U tend vers V. On a donc
tang V = -, .
Remarque. Lorsque le rayon vecteur s'annule pour une ,c valeur particulière co0 de oj, on a une
branche de courbe OC passant au pôle (fig. 243), et la tangente à cette branche au pôle est précisément la droite OA donnée par Fangle w0. En effet, si l'on prend un point voisin M, et si l'on fait tourner la sécante OM de manière que
le point M se rapproche du point 0, p s'annule et la sécante
tend vers la direction OA.
