Équation de la tangente
L'équation de la sécante MiM'i (fig. 244) est (n° 83 bis) cos (o sin (o
Fig. 243.
sin (o.
Pi
|-A- cos («Oj -j- Awj) sin (tOj 4- A^i)
Pi Pi
en appelant pt et cot les coordonnées du point M, et A — , Awt
les accroissements que prennent — et a^ quand on passe du
Pi
point Mi au point voisin M\. En retranchant, dans le déter-
minant précédent, les éléments de la deuxième ligne de ceux
de la troisième et divisant par Attj tous les éléments de la troisième ligne du nouveau déterminant, on obtient, pour la sécante, une équation qui donne, lorsque A«! tend vers zéro, l'équation de
Fig.
la tangente en cos (o sin (o
Pi
cos a)j sin Wj
fe)'
sin Wj cos o)1
en développant
Pi
(co
«>t)+(i)sin(
Sous-tangente. On appelle sous-tangente S, le rayon vecteur de la tangente qui correspond à l'angle polaire (û = uiJr-, On a donc
Dans la figure (244), o>t étant l'angle x OMj , la sous-tangente est négative et égale à — OT.
Sous-normale. On appelle sous-normale Sn le rayon vecteur de la normale au point Mt qui correspond à l'angle
polaire (OrrrcOi ■-)--•
Dans la figure (244) la sous- normale est positive et égale
à + ON.
Quelle que soit la disposition de la figure, le triangle TMiN est rectangle en Mâ et le point 0 est le pied de la perpendiculaire abaissée du point Mt sur l'hypoténuse TN : ce point 0 se trouvera doriG toujours entre T et N et, par suite, la sous-
tangente et la sous-normale seront de signes contraires comme la valeur absolue de leur produit est
OT. ôn = om; = pî,
on a
S/ . Sn — — p,, et, par conséquent, d'après la valeur de S„
Équation de la normale. La normale est une droite passant par le point Mt de coordonnées (p4 , wj et par le point N
extrémité de la sous-normale de coordonnées (p' , <o4+-
L'équation de cette droite est donc
Pi
cos co sm a)
cos Wj sin (o4
sin <o4 cos w4
- = — COS (a) - P Pi
31) + -rsin(û> — Wl).
Pi
377. Exemple I. Spirale d'Archimède. L'équation de cette courbe étant p = b(ù (n° 371), on en déduit p' = b , d'où
p bu> tang V = —. = -7- = w.
Si le point M part du pôle et s'avance sur la courbe, l'angle V, d'abord nul, augmente constamment et tend vers un angle droit. La sous-normale est constante et égale à b.
Exemple IL Spirale logarithmique. On appelle spirale logarithmique la courbe dont l'équation polaire est p = aemW, a désignant une ligne donnée et m un nombre. Supposons la constante m positive*, si l'on fait croître wdeoà l'infini, p va constamment en croissant de a à l'intini, ce qui donne une branche indéfinie ABC... faisant une infinité de circonvolutions autour du pôle (fig. 245). Si l'on fait ensuite varier
iode o k — » , p diminue constamment et tend vers zéro ; on obtient
une seconde branche indéfinie AB'G'..., qui fait une infinité de circonvolutions autour du pôle, en se rapprochant constamment de ce point. Si la constante m était négative, les valeurs positives de w donneraient la branche qui se rapproche du pôle, et les valeurs négatives celle qui s'en éloigne. On a ici
ç'=:maemtù = <mç>, d'où tangV=— *
On en conclut que la tangente à la courbe fait un angle constant avec le rayon vecteur.
378. Exemple III. Épicycloïde. Lorsqu'un cercle mobile roule, sans glisser, sur un cercle fixe, un point du cercle mobile décrit dans le plan une courbe à laquelle on a donné le nom à' épicycloïde.
Bornons-nous au cas où les deux cercles sont égaux. Soit G le cercle fixe, G' la position initiale du cercle mobile, a le rayon; supposons
que ce soit le point de contact À qui, dans le mouvement du cercle G', engendre l'épicycloïde (fig. 246). Lorsque le cercle mobile est venu dans la position C", le point A est en M, les deux arcs EA, EM étant égaux. Prenons le point A pour pôle, le prolongement de G A pour axe polaire : la droite AM, perpendicu- Fig. 246. laire à la tangente com-
mune EN aux deux cercles, est parallèle à CE; l'angle AEN est la moitié de ACE, et, par conséquent, la moitié de o> ; le triangle rectangle ANE donne AN=AE sin — ; mais AE = m sin — ; on a donc
p~4asms — ==2a(i — cosw):
Gette courbe est un cas particulier du limaçon de Pascal (n° 26). On a
ici p'=2fl sinw, d'où tang V= tang -* et, par suite, V= — * Il est aisé
de voir que îa normale à l'épicycloïde en un point quelconque M passe au point de contact E du cercle mobile avec le cercle fixe; car l'angle
MEN étant égal à— > et par suite à V, la droite EM est perpendiculaire
àMT.
