ROSACE A QUATRE BRANCHES

29. Étant données deux droites rectangulaires OX, OY, sur lesquelles glissent les extrémités d'une droite PQ de longueur constante, du point 0 on abaisse une perpendicu-

laire OM sur cette droite; étudier le lieu du point M (lig. 23).

Quandla droite PQ s'applique sur 07, le point M vient en 0, et la corde OM prend la direction OX; donc la tangente en 0 à l'arc OM coïncide avec OX. Le point I, milieu de PQ, décrit un cercle dont le centre est 0, et le rayon égal à a, si l'on désigne par 2a la Fis- 23. longueur constante

PQ ; or la perpendiculaire OM est plus petite que l'oblique 01 ; donc la distance OM est maximum quand la droite PQ est perpendiculaire à la bissectrice OA. Lorsque la droite mobile continue son mouvement, elle passe par une position P'Q' symétrique de PQ par rapport à la bissectrice 0 A, et Ton obtient un arc OM'A symétrique de l'arc OMA. par rapport à OA. La même courbe se reproduit dans chacun des quatre angles droits. Ainsi la courbe a quatre axes, les deux droites fixes OX, OY, et les deux bissectrices A' A, B'B. Le point 0 est centre de la courbe.

30. Si l'on prend le point 0 pour pôle, et OX pour axe polaire, on a, dans les triangles rectangles OMP, OPQ,

p = OPcosw , 0P = 2asinw;

donc

(1) p = asin2to.

En coordonnées rectilignes, la courbe est représentée par une équation du sixième degré

TANGENTE

31. Les exemples qui précèdent montrent comment on peut construire une courbe d'après sa définition géométrique,

et trouver ensuite l'équation qui la représente. Il est possible aussi quelquefois de déduire de la définition géométrique de la courbe ane construction simple de la tangente. Nous en citerons deux exemples remarquables, les courbes décrites par les différents points d'une figure plane qui se meut dans un plan, et le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées d'un point fixe sur les tangentes à une courbe donnée. La construction relative à la première classe de courbes dépend des propositions suivantes :

Lemme. Toute figure plane peut être amenée d'une position à une autre dans son plan par une rotation autour d'un point fixe.

Nous remarquons d'abord que la position d'une figure plane dans un plan est déterminée lorsqu'on connaît les positions de deux de ses points. Soient A et B deux points de la figure dans sa première position (fig. 24), A' et B' ces mêmes points dans

saseconde position; la droite AB, de longueur invariable, s'est transportée enA'B'. Élevons des perpendiculaires aux droites A A, BB', en leurs milieux; cesperpendiculaires se coupent en un point I. Les deux triangles AIB, A'IB' sont égaux comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun, savoir AB égal à AB', IA et IA' égaux comme obliques s'écartant également du pied de la perpendiculaire, et de même IB et IB'; donc les deux angles AIB, AIB' sont égaux ; en retranchant la partie commune AIB, on en conclut que les angles AIA', BIB' sont égaux. Imaginons maintenant quelafiguretourneautourdupointfixel de l'angle AIA', le rayon IA viendra sur IA' et le point A en A' ; de même, le rayon IB, tournant d'un angle BIB' égal à AIA', viendra sur IB' et le point B en B' . Cette rotation autour du point I amène donc la figure de sa première position à la seconde.

32. Théorème. Si l'on considère les courbes décrites par les différents points A, B, C...., d'une figure plane invariable qui se meut dans un plan, les normales à ces courbes, aux points qui correspondent à une même position de la figure, passent par un même point.

Soient A, B, C..., différents points de la figure dans une position quelconque, À', B', C',... ces mêmes points dans une position voisine ; d'après ce que nous avons dit, on peut amener la figure de la première position à la seconde en la faisant tourner autour d'un certain point It ; dans ce mouvement, les rayons liA, IjB, ItC,... décrivent des angles respectivement égaux et viennent se placer sur IjÀ', IXB', I1C/,... (fig. 25). Les perpendiculaires MIj, NIj, PIp... aux cordes AA', BB', CC',... en leurs milieux, passent toutes par le point Ir

Supposons maintenant que la seconde position se rapproche de plus en plus de la première et que le point lt tende vers une position limite I; les cordes AA', BB', CC',..., prolongées, deviennent tangentes aux courbes en A, B, C,.. ; les perpendiculaires MIt, NIt, Pif... aux cordes se confondent avec les perpendiculaires aux tangentes en A, B, C,..., c'est-à-dire avec les normales aux courbes. On en conclut que les normales en A, B, C,... aux courbes décrites par ces points passent toutes par un même point I.

Corollaire. Si l'on sait mener les normales aux courbes décrites par deux points A et B de la figure mobile, ces deux normales, par leur intersection, détermineront le point I ; en joignant le point I à un troisième point quelconque C, on aura la normale à la courbe décrite par le point C ; une perpendiculaire à la normale sera la tangente. C'est ce qui a lieu sideux points décrivent des lignes droites ou des circonférences de cercle. Voici quelques applications de cette méthode.

33. Nous allons faire voir que lorsque deux points de la. figure mobile décrivent des droites, la courbe décrite par un point quelconque est une ellipse; la méthode précédente nou& donnera le moyen de construire la tangente à l'ellipse.

Supposons d'abord que les deux extrémités d'une drcf,te CD, de longueur invariable, glissent sur deux droites rectangulaires fixes OX, OY, et cherchons le lieu décrit par un point M de cette droite (fig. 26). Quand la droite CD est appliquée sur