ÉQUATION GÉNÉRALE D'UNE ESPECE DE COURBES

39S. On appelle courbes de même espèce les courbes comprises dans une même définition géométrique, et qui ne diffèrent les unes des autres que par les valeurs attribuées aux paramètres qui entrent dans la définition générale. L'équation générale des courbes de l'espèce considérée

est une équation qui, dans un système de coordonnées, donne toutes ces courbes, quelle que soit leur position dans le plan, quand on attribue diverses valeurs aux paramètres variables qu'elle renferme. Ainsi, lorsque fes axes fixes sont rectangulaires, l'équation générale de l'espèce cercle est (x — a)2 4- [y — ô)2 = r2. Cette équation renferme trois paramètres variables, savoir le rayon r et les deux coordonnées du centre a et 6.

Souvent on cherche d'abord l'équation de la courbe par rapport à des axes particuliers, que l'on choisit de manière à simplifier le calcul; alors, pour obtenir l'équation générale, on la rapporte à des axes fixes par une transformation de coordonnées.

On a défini la lemniscate le lieu des points tels que le produit des distances de chacun d'eux à deux points F et F' soit égal au carré de la moitié de la droite F'F (fig. 260). Si l'on prend pour origine le milieu 0' de la droite F'F, pour axes des coordonnées O'F et une perpendiculaire à O'F, et si l'on désigne par 2c la distance F'F, la courbe, rapportée à ces axes particuliers variables, est représentée par l'équation (n° 339)

\ r On rapporte ensuite la courbe \ y^ "\^y aux axes fixes rectangulaires OX, \ / ^*^) ^Y, au moyen des formules de V/^fa J transformation

f ^/w — x' = (x — a) cos a + iv — &) sma>

(sç J îb y'= — (a — a)sina+ (y— 6)cosa,

^C\^y < dans lesquelles a et b désignent

' x" ies coordonnées du point 0' par

Fig. 260. rapport aux axes fixes et a

l'angle de la droite O'F avec OX. On arrivera ainsi à une équation

renfermant quatre paramètres arbitraires, et qui représente toutes les lemniscates ; c'est l'équation générale de l'espèce.

L'équation générale d'une espèce de courbes, par rapport à des axes fixes, contient trois paramètres de plus que l'équation des mêmes courbes rapportées à des axes liés aux courbes d'une manière déterminée. Soit n le nombre total des paramètres, on pourra toujours remplacer ce système de paramètres par un autre système, tel que les variations de trois d'entre eux ne fassent que déplacer la courbe dans son plan, tandis que les variations des n — 3 autres donnent des courbes différentes.

396. Le nombre des points, et, en général, le nombre des conditions nécessaires pour déterminer complètement une courbe d'espèce donnée, est égal au nombre des paramètres arbitraires que renferme l'équation

générale de l'espèce. Les remarques faites, à propos des courbes du second degré (n° 283), sur les conditions multiples, sont ici applicables» Toutefois il importe de s'assurer préalablement que les paramètres qui entrent danb l'équation ne peuvent être réduits à un nombre moindre. Considérons, par exemple, le lieu des points tels que le rapport de leurs distances à deux points fixes, dont nous désignerons les coordonnées par (a, 5), (a', 6'), soit constant et égal à k. Ce lieu, qui a pour équation

(l) (a,«a)a + (y«.6)a«.&a|;(a;a')2 + (y.ô,)a] = oJ

est une circonférence de cercle. L'équation (i) renferme cinq paramètres ; mais si l'on développe et si l'on ordonne, elle devient

(a) x2 + y*-2-^œ-2—wy+ - =o.

Trois des coefficients seulement renferment les paramètres ; si on les représente par A, B,C, l'équation (2) prend la forme

(5) x* + y* + Ax+By + C=o.

Trois points suffisent pour déterminer les coefficients A, B, C, et, par conséquent, la circonférence. Si l'on veut ensuite obtenir a, 6, a', 6', k, on aura un système de trois équations à cinq inconnues ; il y aura indétermination, et deux des inconnues pourront être prises à volonté; ceci signifie que, pour une même circonférence, on peut trouver une infinité de couples de deux points tels que le rapport des distances de chacun des points de la circonférence à ces deux points fixes soit constant.

397. La définition géométrique d'une espèce de courbes indique elle-même le nombre des paramètres arbitraires que renferme son équation générale. La définition du cercle exige la connaissance du centre, dont la position est déterminée par ses deux coordonnées, et celle du rayon, en tout trois constantes ou paramètres arbitraires. La définition de la lemniscate exige la connaissance de deux points fixes, ce qui fait quatre constantes; pour l'ellipse, comme il faut connaître en outre la somme des rayons vecteurs, la courbe dépend de cinq paramètres ; dans la définition de la spirale d'Archimède entre un pôle, ce qui fait deux constantes, la position de la droite à l'instant où le mobile passe au pôle, et un rapport, en tout quatre constantes.

398. Un polynôme entier du degré m par rapport aux deux variables

x et y contient ' termes ; on en conclut qu'il faut

(m+iïïm-f 2) m(m+3) . . ,rp . , , ., .

- ~ 1 ou — points pour définir une courbe algébrique

du degré m. Par exemple, il faut 9 points pour définir une courbe du

troisième degré, 14 points pour définir une courbe du quatrième degré» D'après cela, on voit que toute équation du troisième degré peut se mettre sous la forme

V|) a1aaa3 — &p2Y = o,

ai>a2>a3>P>Y désignant des fonctions entières et du premier degré, et k un paramètre arbitraire, car cette équation contient onze paramètres arbitraires ; on peut môme prendre à volonté l'une des cinq fonctions linéaires, puisqu'il reste encore neuf paramètres. Les trois droites ai=o, a2=o, a3=o, sont tangentes aux courbes aux points où elles sont coupées par la droite p == o ; et les points où ces tangentes sont coupées par la droite y = o appartiennent aussi à la courbe. En prenant p à volonté, on a le théorème suivant : si l'on coupe une courbe du troisième degré par une droite quelconque p = o, qu'aux trois points d'intersection on mène les tangentes à la courbe, chacune des tangentes coupe la courbe en un nouveau point, et ces trois points sont en ligne droite. En prenant y h volonté, on a cet autre théorème : si l'on coupe une courbe du troisième degré par une droite y = o> si par chacun des points d'intersection on mène des tangentes à la courbe, les points de contact de ces tangentes sont trois à trois en ligne droite.

Supposons que la droite p = o s'éloigne à l'infini, les trois tangentes ai = o,a2 = o,a3 = o auront pour limites les trois asymptotes de la courbe ; chacune de ces asymptotes coupe la courbe en un seul point, et ces trois points sont en ligne droite.

L'équation

(5) a1a2a3--/cp3=o,

qui renferme neuf paramètres arbitraires, représente toutes les courbes du troisième degré. Les trois points où la droite p = o rencontre la courbe sont des points d'inflexion ; les tangentes en ces points sont les droites at = o, a2 = o, a3 = o.

On peut encore représenter toutes les courbes du troisième degré par l'équation

(6) a(a — ay)(a — 6y) — £p2y=o

qui renferme aussi neuf paramètres arbitraires. La droite y = o est la tangente au point d'inflexion (a=o, y=o), les trois tangentes a= o, a— ay = o, a — ôy = ° aux points où la droite p = o coupe la courbe passent par ce point d'inflexion. En prenant la perspective sur un plan,, on peut rejeter à l'infini telle droite que l'on veut, par exemple la tangente y=o au point d'inflexion; il suffit de faire y=^ i dans l'équation qui se réduit à la forme a(a— a) (a — ô) — hf = o; si l'on prend pour axe des x la droite p = o et pour axe des ?/la droite a=o, on ob-

tient l'équation ky2 = x(x — a) (x — b) que nous avons étudiée au no 337.

399. Toute équation du quatrième degré peut être mise sous la forme

9 désignant un polynôme du second degré ; car cette équation contient 16 paramètres; on peut même prendre p à volonté, puisqu'il reste 14 paramètres. Ainsi, quand on coupe une courbe du quatrième degré par une droite quelconque P = o, qu'aux quatre points d'intersection on mène des tangentes, et qu'on prend les deux autres points où chaque tangente rencontre la courbe, on a huit points situés sur une conique 9 = 0. Une courbe du quatrième degré a quatre asymptotes; chacune d'elles coupe la courbe en deux points ; les huit points sont sur une conique.