CONDITIONS DE SIMILITUDE DE DEUX FIGURES

400. Considérons une série de courbes de même espèce, dans la définition desquelles il n'entre qu'un paramètre linéaire A, dont nous désignerons la mesure par a, et soit

l'équation qui représente toutes ces courbes, abstraction faite de leur position dans le plan. Si l'équation (1) a été obtenue sans spécifier l'unité linéaire, elle est nécessairement homogène par rapport à x, y, a. Quand on change le paramètre linéaire A, ce qui revient, l'unité restant la même, à faire varier le nombre a, l'équation (1) définit une série de courbes homothétiques. En effet, soit A0 un paramètre ayant pour mesure aQ ; à ce paramètre correspond la courbe particulière

(2) f(œ,y,aQ) = o.

Les courbes homothétiques à la courbe (2), l'origine étant le centre d'homothétie et k un rapport arbitraire, sont représentées par Téquation (n° 391)

(3) f(kz9ky,a0) = o.

Désignons par Al un second paramètre ayant pour mesure un

nombre at tel que — = &, l'équation (3) pourra s'écrire ai

f[kx, ky, kal) = kmf(x, y, at) = o,

(4) ou f(x>y,ai) = o,

ce qui signifie que les courbes homothétiques à la courbe (2) sont les diverses courbes que Ton obtient en faisant varier le paramètre A.

401. En général, supposons qu'il faille n paramètres linéaires A, B,... pour définir toutes les courbes dune même espèce, abstraction faite de leur position dans le plan ; désignons par a, b, c,... les mesures de ces paramètres au moyen d'une unité arbitraire ; l'équation des courbes de l'espèce

sera homogène par rapport à x, y, a, b... Les courbes définies par l'équation (5) et qui correspondent à deux séries de paramètres proportionnels A0, B0,... et Ai, B1?... sont homothétiques ; car, si l'on désigne par k le rapport des paramètres

?! = ^= = k a, ôt

les courbes homothétiques à la courbe

f{x,y,aQ, 60,...) = o,

sont représentées par l'équation

f(kx, ky, kai9 kbu . . .) = kmf(x, y, a19 bt...) = o,

ou f(v,y,a1,bi,...) = o.

Il résulte de ce qui précède que lorsque la courbe, abstraction faite de sa position dans le plan, est définie par une seule longueur, toutes les courbes de l'espèce sont semblables. Ainsi, le cercle étant défini par son rayon, la parabole par la distance du foyer à la directrice, la lemniscate par la distance des foyers, la spirale d'Archimède par la longueur que parcourt le mobile sur la droite pendant une révolution de cette droite, toutes les circonférences sont semblables, et de même toutes les paraboles, toutes les lemniscates, etc.

L'ellipse étant définie par les deux axes, la condition de similitude de deux ellipses est que ces axes soient proportionnels, comme nous l'avons déjà reconnu au n° 390. Il en est de même de deux hyperboles.