RÉSOLUTION GRAPHIQUE DES ÉQUATIONS. «9 CHAPITRE VI

f&ésolution graphique des équations*

402. Considérons deux équations à deux inconnues x et y (i) <p(ff,y) = o, (2) ty(x,y) = o;

chacune d'elles définit une courbe. Au système de ces deux équations, on peut substituer une infinité de systèmes équivalents ; prenons en particulier un système

P) xfoy)=°> M) f(x) = o,

dans lequel Tune des équations ne contienne plus la variable y, système que l'on obtient en éliminant y entre les deux équations proposées. Les racines réelles de l'équation (4) sont les abscisses des points communs aux courbes (1) et (2). Cependant, si le système des équations (3) et (4) était vérifié par un couple de valeurs de la forme #=a, y=$-\-yî, dans lesquelles les quantités a, p, y sont réelles, ces valeurs vérifieraient le système des équations (1) et (2); mais la quantité a ne serait pas l'abscisse d'un point réel commun aux deux courbes. L'exception que nous venons de signaler ne se présente jamais lorsque l'équation x (#, y) = ° est une équation algébrique ne renfermant la variable y qu'au premier degré. Lorsqu'on veut résoudre une équation / (x) = o à une seule inconnue, on peut choisir d'une infinité de manières différentes les courbes déterminées par les équations (1) et (2). La seule condition à remplir, c'est que l'élimination de y entre les équations (1) et (2) donne l'équation proposée. Une première combinaison esty=f (x), y=o, ce qui revient à considérer les valeurs de l'inconnue comme les abscisses des points de rencontre de la courbe y=f (x) et de l'axe des x. Cette combinaison est rarement la plus simple. On démontre en algèbre que si l'on élimine une inconnue y entre deux équations algébriques à deux inconnues dont les degrés sont m et n, l'équation en x est généralement du degré mn. Par conséquent, si

l'équation proposée est algébrique et que Ton veuille obtenir ses racines par des intersections de courbes algébriques, le produit des degrés des équations des deux courbes devra être égal au degré de l'équation à résoudre. Appliquons cette méthode à la résolution de l'équation du quatrième degré,

403. L'équation du quatrième degré se ramène aisément à la forme

(5) xk -f- px2 -)- qx -f- r= o ;

on peut la considérer comme provenant de l'élimination de y entre les deux équations du second degré

(6) x* — my = o, (7) m2y2 -|- Pmy ~f- Çx 4~ r ==1 °> qui définissent chacune une parabole. L'équation (6) ne renfermant y qu'au premier degré, toutes les racines réelles de l'équation (5) sont des abscisses de points réels communs aux deux courbes.

On peut remplacer la parabole (7) par une autre courbe du second degré passant par les points communs aux courbes (6) et (7). L'équation générale des courbes du second degré satisfaisant à cette condition (n° 277) est

(8) kx2 -{-m2y2 -\-qx-\-m{p — kjy-^-r^^o,

h étant un paramètre arbitraire. Si Ton prend k = m2, la courbe (8) ne pourra être qu'une circonférence de cercle ; on obtient les coordonnées a et b du centre et le rayon R de cette circonférence par les formules

XVJ 2m2 2m m2

Lorsque la valeur de R2 est positive, l'équation (8) représente un cercle réel, et les racines réelles de l'équation (5) sont les abscisses des points de rencontre de ce cercle et de la parabole (6). Lorsque la valeur de R2 est négative, l'équation (8) n'ayant pas de solutions réelles (n° 85), il en est de même du système des équations (G) et (7), ou du système équivalent des équations (5) et (G; ; les quatre racines de l'équation proposée sont imaginaires.