RESOLUTION GRAPHIQUE DES EQUATIONS

404. Considérons maintenant l'équation du troisième degré ramenée à la forme

x3 -\-px-{-q = o.

Si Ton multiplie par x, ce qui introduit la racine x=o, dont on ne tiendra pas compte, on obtient l'équation du quatrième degré x*-\-px*-{-qx=Oy à laquelle on appliquera la méthode précédente. La valeur de R2 étant ici égale k a2-\-b2 est toujours positive. Le cercle et la parabole passent à l'origine des coordonnées; l'abscisse de ce point est la racine x=o, que l'on doit écarter.

La même parabole x2 — my=o peut servir pour la résolution de toutes les équations du troisième ou du quatrième degré; le cercle seul change suivant les valeurs des coefficients de l'équation proposée. Cette méthode ne peut être employée avec avantage que lorsque l'on doit résoudre successivement un grand nombre d'équations; alors on trace $vee beaucoup de soin une parabole ayant un paramètre arbitraire ; et, dans chaque exemple particulier, il ne reste plus qu'à déterminer le cercle.

40o. Lorsque l'inconnue x est une ligne, et que l'unité n'a pas été spécifiée, l'équation f(x) = o est une équation homogène entre l'inconnue x et diverses lignes connues. Dans le cas où l'équation est du quatrième degré, si les coefficients pf q, r sont des fonctions rationnelles, ou des fonctions irrationnelles du second degré des longueurs données, en prenant pour le paramètre m de la parabole une longueur arbitraire, on pourra construire, avec la règle et le compas, les coordonnées du centre et le rayon du cercle.

Mais si l'équation est une équation numérique, c'est-à-dire si les coefficients sont des nombres donnés, on prendra pour m un nombre déterminé; on fera, par exemple, m=i, et l'on construira la parabole et le cercle à l'aide d'une échelle arbitraire ; l'abscisse de l'un des points de rencontre, évaluée à la même échelle, donnera la valeur du nombre inconnu x.

On sait que la résolution de deux équations du second degré à deux inconnues x et y, ou la recherche des points d'inter-

GÉOM. ANALYT. 31

section de deux courbes du second degré, se ramène à la résolution d'une équation du quatrième degré à une inconnue. Cette résolution pourra donc être effectuée à l'aide d'une parabole déterminée et d'un cercle. Cependant, si Tune des courbes du second degré est déjà tracée, on pourra l'employer avec le cercle.

406. Exemple I. Mener une normale à une parabole y2 — ipx — o par un point donné P dont les coordonnées sont xt et yt. Les coordonnées x et y du pied de la normale sont déterminées par le système de deux équations,

y2 — ipx ■

®y — («i — P) V —Mi = o.

Si l'on multiplie tous les termes de la dernière par y, et si l'on remplace y* par 2px, on a une nouvelle parabole x2 — (xt — p) x — — = o ; en ajoutant membre à membre les équations des deux paraboles, on obtient le cercle x2 -f y2 — (a?4 + p) x — — = o. Les points où ce cercle eoupe la parabole proposée sont les pieds des normales (n° 5o6).

407. Exemple II. Résoudre l'équation numérique x* — x — 7 = 0.

Au moyen d'une échelle bien faite, construisons la parabole x2 = y; décrivons le cercle dont le N\ centre G a pour coor-

\ données a = - , & = i,

\ et qui passe à l'origine ;

| ce cercle coupe la para-

/ bole en un seul point M ;

v \ v / donc l'équation propo-

\v / sée n'a qu'une racine

"--. --'' réelle, l'abscisse OP du

Fi 26t. pointM(fig. 261). En me-

surant cette longueur au moyen de l'échelle- employée, on trouve x = 2,09.

Exemple III. Résoudre l'équation xz — 5x + 1=0. Décrivons le cercle iont le centre G a pour coordonnées a = — -, b = 3, et qui passe par