RÉSOLUTION GRAPHIQUE DES ÉQUATIONS

l'origine: ce cercle coupe la parabole en trois points ; on en conclut

que l'équation a ses trois racines réelles; en mesurant les abscisses, on trouve que les deux racines positives sont o, 20 et 2, i3.

Considérons l'équation transcendante

a?tang#= i.

Cette équation résulte de l'élimination de y entre les deux équations y = tango?, xy — i.

Fis- 262- La première représenta

une courbe composée d'une infinité de branches égales qui ont des asymptotes perpendiculaires à l'axe des as; la seconde une hyperbole équilatère (fig. 262). 11 est évident que la branche de droite de l'hyperbole rencontre au moins une fois chacune des branches OA, B'A', ... de la courbe transcendante ; d'ailleurs il n'y a sur chaque branche qu'un seul point de rencontre, car, lorsque x varie, les ordonnée^ des deux courbes varient en sens contraires : si ces ordonnées sont égales pour une certaine valeur de as, elles sont nécessairement inégales pour toute valeur différente. Les racines de l'équation sont deux à deux égales et de signes contraires; il y a une première racine positive comprise entre

o et -, une seconde entre tc et — , une troisième entre 27c et — , etc ;

le nombre des racines est infini. En appelant xn la nième racine, la différence entre x et (n — i)tu est très-petite lorsque n est très-grand. La courbe donne, pour valeur de la première racine, 0,86.

On pourrait aussi se servir des équations y = tang ( x), y=œ,

et , en posant - — x = a?', y -• remplacée par une ligne droite.

tanga?', y = x\ l'hyperbole serait

409. Remarques. Les procédés graphiques que nous venons d'indiquer ne donnent pas les valeurs des inconnues avec une bien grande précision ; on ne doit pas espérer une approximation plus grande qu'un centième de la racine.

On se sert quelquefois de deux courbes tracées grossière-

ment pour déterminer le nombre des racines réelles d'une équations. Or, tant que Ton n'a pas étudié avec soin la forme des deux courbes, on ne peut déduire aucune conclusions rigoureuse de cette consiruction. En général, la discussion des courbes et la détermination de leurs points de rencontre présentent les mêmes difficultés que la question proposée.