CHAPITRE VII Notions sur les cour&es tmictarsales

On a vu (page 3 16) quelles facilités se présentent pour l'étude d'une courbe lorsque les coordonnées d'un de ses points peuvent s'exprimer commodément en fonction d'un paramètre. A ce point de vue, les courbes algébriques les plus simples sont celles dont les coordonnées peuvent s'exprimer en fonction rationnelle d'un paramètre. Ces courbes particulières ont été nommées unicursahs.

La théorie des courbes unicursales a été fondée par Chastes et Clebsch. Les résultats que nous indiquons sont empruntés pour la plupart aux Mémoires de Clebsch (Journal de Crelle, t. LXIV et LXXIII) et aux leçons de géométrie de Clebsch publiées par Lindemann.

I. Une courbe d'ordre m avec un point multiple d'ordre m — 1 est unicursale.

En effet, si l'on prend le point multiple pour origine, l'équation de la courbe devient (§ 354)

<pm-! (a?, y) + <pm (œ, y) = o

où 9m A et cpm désignent des polynômes homogènes en x et y des degrés m et m — 1. Une droite variable

y=tx,

passant par l'origine, coupe la courbe en m — 1 points confondus avec l'origine et en un seul point variable M dont les coordonnées sont données par les équations

Çw(liO- <Pm(l,0

c'est-à-dire sont des fonctions rationnelles du paramètre t, de degré m, avec le même dénominateur. A chaque valeur de t répond sur la courbe un seul point, et inversement à chaque point M de la courbe distinct du point multiple x •= 0 , y = 0 ré-

pond une seule valeur de t, t = - , égale un coefficient angulaire de la droite OM; quant au point multiple x = o, y = o> on l'obtient pour m — 1 valeurs de t, racines de l'équation

On peut encore dire que, si x et y sont les coordonnées

d'un point de la courbe distinct du point multiple, les équa-

y tions (i) de degré ment ont une seule racine commune t = Z-t

et si x = o, y = o, ces équations ont m — i racines commune» données par l'équation cpm A (i, t) = o.

Dans cette catégorie de courbes unicursales rentrent : les coniques (m = 2) ; les courbes du troisième ordre avec un point de rebroussement ou un point double (m = 3), par exemple la cissoïde et la strophoïde; puis les courbes du quatrième ordre avec un point triple, par exemple la courbe construite à la page 389 ... etc.. Nous verrons plus loin qu'il existe d'autres courbes unicursales du quatrième ordre, à savoir des courbes ayant trois points singuliers, doubles ou de rebroussement.