COURBE DU TROISIÈME ORDRE AVEC UN RËBROUSSEMENT

Supposons d'abord ces racines égales : soit a leur valeur commune ; on aura

A + B* + C*f = C(f — a)2 .d'où

Prenons sur la courbe trois points correspondant aux valeurs *n t2, tz du paramètre et cherchons quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que ces points soient en ligne droite.

Soit ux -f- vy -f- w = o

l'équation d'une droite ne passant pas par le point de rëbroussement.

Les valeurs ti9t2, ts du paramètre t, correspondant aux points d'intersection de cette droite avec la courbe, sont racines de l'équation du troisième degré obtenue en remplaçant, dans l'équation de la droite, x et y par leurs expressions (3). Après cette substitution, le trinôme ux-\-vy-{-iD devient une fonction rationnelle en t dont le dénominateur est cp (t) et dont le numé rateur s'annule pour lés valeurs ti9 t2, tz de t. On a donc identiquement, après la substitution,

Kjt — tJ jt — h) (t-

Fig. 888.

ux -f- vy + w = ■

K étant une constante qui dépend de u, v, w. En prenant les dérivées des deux membres de cette identité par rapport à % nous aurons une autre identité

k(^— oe— '»)(*— or i \ i \ x ?'(o

UX't + Vtft

Dans cette dernière identité en t, remplaçons t par la va-

leur t = a qui correspond au point de rebroussement. Comme* pour cette valeur, x\ et y\ s'annulent et que le facteur

(a— *i) {a — t2) (a — t3) n'est pas nul, la sécante ne passant pas par le point de rebroussement, il vient

a — ti a — t2 a — t3 cp (a) Cette relation étant indépendante de w, v, w a lieu nécessairement entre les paramètres tlt t2, tz de trois points en ligne droite. Réciproquement, si cette relation est satisfaite, les trois points correspondants sont en ligne droite, car en appelant t\ le paramètre du point qui est en ligne droite avec les deux premiers, Ton a

a — ti a — t2 a — t'3 cp (a) ' d'où, par comparaison avec (4), t\ = l3.

Point d'inflexion, Une tangente d'inflexion coupe la courbe en trois points confondus avec le point de contact : si donc on appelle 8 le paramètre d'un point d'inflexion, on aura, d'après la formule (4) dans laquelle on fait tt = t2 = tz = 9,

Il y a donc un seul point d'inflexion. Points su?1 une conique. Une conique ayant pour équation f{œ, y) = a£2 + $xy + yy2 + %x + zy + yj = 0 et ne passant pas par le point de rebroussement, coupe la courbe en six points dont les paramètres £,, *2, tz, t^ *5, t& sont racines de l'équation du sixième degré obtenue en remplaçant, dans l'équation de la conique, x et y par leurs expressions (5). Après cette substitution, f(x, y) devient une fraction rationnelle du sixième degré en t ayant pour dénominateur cp2(£) et, pour numérateur, un polynôme s'annulant pour les valeurs fi» h> *3> h> h> h &e *• On en conclut l'identité

A E(t-ti)(t-tt)...(t-tt)

où H est une constante indépendante de t; puis, en prenant les dérivées des deux membres par rapport à t, la nouvelle identité

Wt±M=-

et en faisant, dans cette dernière identité, t ==a , on a

i i î i i,i 2cp'(a)

condition nécessaire pour que les six points correspondant à ces six valeurs de t soient sur une conique. On voit, comme plus haut, que cette condition est suffisante.

Ces considérations s'appliquent en particulier à la podaire ou à la courbe inverse d'une parabole, par rapport à un point de la parabole.