COURBES DU TROISIEME ORDRE AVEC UN POINT DOUBLE

Appelons a et b les racines de l'équation

qui donne les coefficients angulaires des tangentes au point singulier (page 4oi); si ces racines sont imaginaires, le point double est isolé. Les expressions des coordonnées x et y d'un point de la courbe sont

^-C(f-a)(f-6) -çt(t-a){t-b)

Cherchons la condition nécessaire et suffisante pour que les trois points correspondant aux valeurs tnt2, t3 du paramètre soient en ligne droite. Soit ux-\-vy-\-w le premier membre de l'équation d'une droite ne passant pas par le point double; si l'on y remplace x et y par leurs expressions en £, ce premier membre devient une fraction rationnelle dont le dénominateur est 9 (t) et dont le numérateur s'annule pour les valeurs li, t2, t3 de t. On a donc identiquement après cette substitution.

K(*—0 (t — tt)(t — ts)

ux -f- vy -(- w =

Remplaçons successivement, dans cette identité, t par les valeurs a et b correspondant au point double; comme x et y s'annulent pour l'une et l'autre de ces deux valeurs, il vient

d'où en divisant membre à membre

(a — <,) (a — t,) (a — tt) cp (a) w (6 -M (b-t2)(/>-ts) 9(b)'

Telle est la condition nécessaire pour que trois points soient en ligne droite sur la courbe ; on montre comme à la page 4/1 , qu'elle est suffisante.

Si le point double est réel (podaire d'une parabole par rapport à un point extérieur, courbe inverse d'une hyperbole par rapporta un point de la courbe) les constantes a, bf 9 (a), 9 (b) qui figurent dans la relation (7) sont réelles. Si le point double est isolé (podaire d'une parabole par rapport à un point intérieur, courbe inverse d'une ellipse par rapport à un point de la courbe) les constantes a et b d'une part, 9 (a) et <p(£) d'autre part sont imaginaires conjuguées. On peut alors remplacer la relation (7) par une autre qui ne contient que des éléments réels. Supposons pour cela

a=p~{-iq , b=p — iq , ^-jjr = cos 2X -f- i sin 2X

a* désignant l'argument de la quantité constante ^-~- , dont le

module est 1, puisque 9 (a) et 9 (b) sont imaginaires conjugués. Posons

p — t . a — t cos t + i sin t ...

c — cotgr , - = —7—. — = cos 2t + 1 sin 2t ;

q b — t cost — zsin-r

à chaque valeur de % répond une valeur de t; à chaque valeur de t répondent une infinité de valeurs de t différant les unes des autres par des multiples de tu. Appelons t1? t2, t8>

trois valeurs de t correspondant aux paramètres t„ t%i t% de trois points en ligne droite; la relation (7) nous donnera

cos 2 (t4 -j- t2 -f- ^3) + * sin 2 (tj -J- t2 -\- t3) = cos 2X ~\- i sin 2X,

d'où

(8) T1+T,+TI = X + Air

A; désignant un entier quelconque.

En faisant, dans ces formules (7) et (8), ti = t2 = tz = t ou Tf =t2 = t3 = t , on trouve les valeurs des paramètres t ou x correspondant aux points d'inflexion. On démontrera facilement que :

Il y a trois points d'inflexion; ces points sont en ligne droite. Si a et b sont réels, un seul de ces points est réel; si ae^b sont imaginaires, les trois points d'inflexion sont réels.

La condition nécessaire et suffisante pour que six points de la courbe soient sur une conique peut s'écrire de même

ou, si a et b sont imaginaires,

III. Les courbes que nous venons d'étudier sont les seules courbes unicursales du troisième ordre. En effet, soient

les expressions des coordonnées d'un poînt d'une courbe, P (0 3 Q (0 » R (0 désignant des polynômes du troisième degré en t n'ayant pas de diviseur commun. A chaque valeur de t répond un seul point de la courbe ; supposons que réciproquement, sauf pour certains points spéciaux en nombre fini, à chaque point (x, y) de cette courbe réponde une seule valeur de L Cela revient à dire que les équations

P(«P(0 QW Q(0 ^10j R(0 — R(0 ' R(0 — R(<0

n'admettent qu'un nombre fini de solutions dans lesquelles t

est différent de t\ ou encore qu'il n'y a qu'un nombre fini de valeurs de x et y pour lesquelles les équations en t

(9) *R(0-P(0 = o , yR(0-Q(0 = o

ont deux racines communes. Alors la courbe définie par les équations (9) est du troisième ordre et a un point singulier; les équations (9) ont deux racines communes lorsque le point (x, y) coïncide avec ce point singulier.

D'abord la courbe est du troisième ordre, car en cherchant les valeurs du paramètre correspondant aux points d'intersection de la courbe avec une droite, on trouve une équation du troisième degré. Ensuite, l'équation de la tangente au point de paramètre t est (n°34i)

c'est-à-dire, d'après les expressions de x et y en t.

X (RQ' - QR') + Y(PR' - RF) + QP' - PQ' = 0.

Dans les combinaisons telles que RQ' — QR' le terme en t5 disparaît et l'équation de la tangente contient t au quatrième degré au plus. Si donc on cherche les valeurs de t correspondant aux points de contact des tangentes menées d'un point à la courbe, on trouve pour t quatre valeurs au plus. La courbe considérée est donc de quatrième classe au plus : elle a un point singulier, car une courbe de troisième ordre sans point singulier est de sixième classe.

IV. Pour les courbes du quatrième ordre, on a la proposition suivante.

Une courbe du quatrième ordre avec trois points singuliers (doubles ou de rebroussement) est unicursale. Soient A, B, C les points singuliers et D un point fixe pris sur la courbe* Une conique variable

S + fS^o,

passant par les quatre points ABGD, coupe la courbe en huit points, dont sept sont fixes, à savoir deux confondus en A, deux en B, deux en C et un en D. L'équation du huitième degré qui donne les abscisses des points d'intersection de la

NOTIONS SUR LES COURBES UjNICURSALES. 493

conique et de la courbe a donc sept racines fixes indépendantes de.*; on pourra supprimer ces racines par la division et il restera une équation du premier degré en x donnant x en fonction rationnelle de t. On obtiendra de même y en fonction rationnelle de t. A chaque point de la courbe autre que les points À, B5 C répond une valeur du paramètre t donnée par l'équation

S + fS^o;

aux points doubles répondent deux valeurs du paramètre qui deviennent égales quand le point double devient un rebroussement.

Dans cette catégorie de courbes rentrent la lemniscate, l'hypocycloïde à trois rebroussements, les podaires ou les inverses d'ellipses et d'hyperboles par rapport à un point non situé sur ces courbes.

On démontre que, réciproquement, toute courbe unicursale du quatrième ordre a un point triple ou trois points singu* liers (doubles ou de rebroussement).

V. Comme une courbe du troisième ordre ne peut avoir deux points singuliers et une courbe du quatrième quatre, les courbes unicursales de ces ordres sont celles qui ont le nombre maximum de points singuliers. C'est là un fait général qui a lieu pour les courbes unicursales de tous les degrés. On démontre en effet, que :

Une courbe unicursale d'ordre n qui n'a d'autres points singuliers que clés points doubles ou de rebroussement en a

f Yi i \ (fi — — 2 )

— — ; et réciproquement,, une courbe d'ordre n avec

^ il 1 points doubles ou de rebroussement est unicursale.

Ce nombre — est le nombre maximum de points

singuliers que peut posséder une courbe d'ordre n sans se décomposer.

Si l'on donne les expressions des coordonnées d'un point

d'une courbe unicursale en fonction rationnelle d'un paramètre

les valeurs de t correspondant aux points singuliers s'obtien

dront en cherchant les solutions communes aux deux équations

dans lesquelles t est différent de t'.

On peut encore remarquer que l'on obtient l'équation de la courbe en éliminant t entre les équations (n), c'est-à-dire en exprimant que ces équations ont une racine commune en t. Si le point (x, y) est un point ordinaire de la courbe, les équations (11) n'ont qu'une racine commune; si le point (x, y) coïncide avec un point singulier, elles ont deux ou plusieurs racines communes qui sont les valeurs de t correspondant au point singulier. On trouve donc les points singuliers en cherchant les positions du point (x, y) pour lesquelles les équations (n) en t ont deux ou plusieurs racines communes.

EXERCICES

i. Sur une courbe du troisième ordre avec un point de rebroussement, on prend un point M. La tangente en M coupe la courbe en un point Mi, la tangente en Mt la coupe en M2, la tangente en Ms la coup en M8, etc.. Démontrer que le nième point Mn ainsi obtenu tend, quand n augmente indéfiniment, vers le point de rebroussement.

Du point M on peut mener une tangente à la courbe, soit M' son point de contact; du point M' on peut lui mener une nouvelle tangente, soit M" son point de contact, etc.. Démontrer que le nième point M(M} ainsi obtenu tend vers le point d'inflexion.

2. Sur une courbe du troisième ordre avec un point double on prend un point M. La tangente en M coupe la courbe en Mi, la tangente en Mf la coupe en M2, etc..; soit Mn le nième point ainsi obtenu.

Si les tangentes au point double sont réelles, le point Mn tend, quand n augmente indéfiniment, vers le point double.

Si ces tangentes sont imaginaires il peut arriver que le point Mn coïncide avec le point de départ M. L'on aura alors un polygone de n côté dont les sommets sont sur la courbe et les côtés tangents à la courbe. Quelles positions faut-il donner au point M pour qu'il en soit ainsi? Examiner en particulier les cas de n == 3, 4> 5. (Durège, Matk. knnalen, Erster Band.)

5. D'un point d'inflexion I, d'une courbe du troisième ordre à point double, on peut mener à celte courbe une tangente IT ayant son point de contact en T. Démontrer que les droites joignant les deux points ï et T au point double sont conjuguées harmoniques par rapport aux tangentes au point double.

4. Les coordonnées d'un point de l'ellipse — + j-2 — 1 = 0 peuvent

s'exprimer en fonction d'un angle 9 par les formules x = a cos 9 , y = b sin <p. Démontrer que la condition nécessaire est suffisante pour que quatre points de l'ellipse correspondant aux valeurs <p£ , ?t , 93 , 94 de 9 soient sur un même cercle est

9l "f 92 + 93 + 94 = 2&TC.

Par un point M pris sur l'ellipse passent trois cercles osculateurs à l'ellipse (sans compter celui qui a son point de contact en M); prou ver que les points de contact de ces trois cercles sont sur un cercle passant par M.

Au point M on mène le cercle osculateur à l'ellipse; soit Mi le point où ce cercle va couper la courbe; le cercle osculateur en Mt coupe l'ellipse en M2; etc.. Quelle doit être la position du point M pour que le point Mn obtenu en répétant n fois la construction coïncide avec M? On examinera les cas particuliers de n = 1, 2, 3, 4> 5.

5. On donne une ellipse et un point P dans son plan. i°) Trouver le nombre des cercles osculateurs à l'ellipse tels que chacune des cordes communes à l'ellipse et à ces différents cercles passe par le point. 20) Trouver, pour chaque position du point P, combien de ces cercles osculateurs sont réels. 3°) Démontrer que les points de contact de ces cercles osculateurs à l'ellipse sont sur un cercle G. 4°) Trouver l'enveloppe E de ces cercles quand le point P décrit l'ellipse. 5°) La courbe E peut être considérée comme l'enveloppe d'une série de cercles qui coupent à angle droit un cercle fixe et dont les centres sont sur une conique; chercher de combien de manières différentes la courbe E est susceptible de cette génération. (Agrégation 1882.)

6. Exprimer les coordonnées d'un point d'une hyperbole en fonction rationnelle d'un paramètre L Quelle relation y a-t-il entre les paramètres tu t2,ts, tif de quatre points situés sur un cercle ? Combien peut-on mener par un point de l'hyperbole de cercles osculateurs réels à cette courbe ? Le cercle osculateur en un point M coupe l'hyperbole en Mi, le cercle osculateur en Mi la coupe en Ma, etc.; que devient le nième point Mn ainsi obtenu, quand n augmente indéfiniment?

7. Considérons une conique G dont les coordonnées sont exprimées en fonction rationnelle d'un paramètre t de telle façon qu'à chaque point de la courbe corresponde une seule valeur de t, et soient A et B deux points fixes non situés avec la conique G. Démontrer que la

condition nécessaire et suffisante pour que quatre points tif tt, t$, t% de la conique G soient situés sur une conique passant par A et B est de la forme

(<i — a) (t* — a) (h ~ *) (h — a) r,e fr- b) fa- b) (t9- b) &- b)-** >

a et b désignant les valeurs de t correspondant aux deux points où la droite AB coupe la conique G. Gomment faut-il modifier cette relation quand la droite AB est tangente à G ?

8. Soit une courbe unicursale du quatrième ordre avec un point triple à tangentes distinctes : exprimons ses coordonnées x et y en fonction rationnelle d'un paramètre t et appelons a, b, c les trois valeurs de t qui donnent le point triple. Démontrer que les conditions nécessaires et suffisantes pour que quatre points ti9 tif t9l tA situés sur la courbe soient en ligne droite sont :

(tj — a) (t2 — a) (tz — a) (tA — a) 9 (a) (h — o) [h — c) [h — c) (tA — c) 9 {c) (h~b)(t2-b)(t5-b) (tA-b) 9(b) (h-c)(t2-c)(ts-c) (tA-c) ç(c)'

9 (t) désignant le dénominateur commun des expressions de x et y. En conclure le nombre des points d'inflexion et des tangentes doubles de la courbe.

Comment faut-il modifier les relations précédentes quand deux ou trois des tangentes au point triple viennent à coïncider ?

On appliquera les formules obtenues à la courbe construite au N° 042 ; et aux courbes ayant pour équations

(x2 + y2)2 — ay {x2 — y2) = o

(x2 + if)2 — a{x — y)Hj = o [x2 + y2)2 — ayz =0.

9. Soit une courbe unicursale du quatrième ordre ayant trois points doubles correspondant, le premier aux valeurs t = a ,t= b du paramètre, le second aux valeurs arybr9 le troisième aux valeurs a",b" '. Démontrer que les conditions nécessaires et suffisantes pour que quatre points ti9 tt1 ts, tA soient en ligne droite sont de la forme

(ti-b)(t2-b)(t3-b)(t,-b)-

(*i — a') (t* - a') (h - a') (U - a') gf

{h-b"){t,-b")(tz-b") fa-b")

équations qui se réduisent à deux.

En conclure le nombre des points d'inflexion et des tangentes dou~ b]es de la courbe.

Gomment faut-il modifier les conditions et les conclusions quand un, deux ou les trois points doubles deviennent des points de rebroussement ?

Appliquer ces formules à la lemniscate (n°55<), 20]. à l'hypoeycloïde, à trois rebroussements (courbe engendrée par un point d'une circonférence roulant dans une circonférence de rayon triple).

]o). On mène à une parabole donnée deux normales interceptant entre elles une portion de longueur constante de Taxe de la parabole. Lieu de leur point d'intersection. (Concours académique, 1873 )

ir). On circonscrit à un triangle deux paraboles dont les axes font entre eux un angle constant; lieu du quatrième point d'intersection de ces paraboles. (École Polytechnique, 1874.)

12). a et b désignant les coordonnées rectilignes rectangulaires d'un point M, quelle est, pour chaque position de ce point, la nature des racines de l'équation

3£4 + 8ais I2^2 + 4& = o.

On construira, en particulier, le lieu des positions du point M pour lesquelles l'équation admet une racine double, en calculant les coordonnées d'un point du lieu en fonction de cette racine. (École Normale, 1884.)

i5). D'un point M d'une lemniscate on peut mener quatre tangentes à cette courbe outre celle qui touche la courbe en M. Prouver que les quatre points de contact de ces tangentes sont sur une ligne droite, et chercher l'enveloppe de cette droite quand le point M décrit la lemniscate.

14). L'enveloppe des normales à une courbe unicursale est une courbe unicursale. Quel est l'ordre et la classe de cette enveloppe pour une conique, une cubique unicursale?

i5). L'un des foyers d'une conique inscrite à un triangle donné décrivant une conique donnée, démontrer que l'autre foyer décrit une courbe unicursale du quatrième ordre. (Astor, Noav. Annales, i8S5.)

16). Une droites coupe les trois côtés d'un triangle ABC en trois points P,Q,R situés respectivement sur les côtés BC, GA, AB. On prend le conjugué harmonique P' de P par rapport à BC, Qf de Q par rapport à CA, R' de R par rapport à AB; les trois droites AP', BQ', CR' se coupent en un point M.

Trouver le lieu de ce point :

i°) Lorsque la droite S passe par un point fixe ;

a0) Lorsque cette droite enveloppe une conique.