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OX, le point M est en A, aune distance OA égale à DM; l'extrémité D glissant sur OY et «'éloignant du point 0, l'extrémité C se rapproche du point 0, et le point M décrit lare AMB ; la droite s'appliquant sur OY, le point M vient en B, à une distance MB égale à CM.

Le même arc se reproduit dans cha- Fis- 26- cun des quatre angles droits, et la

courbe fermée que l'on obtient ainsi est une ellipse.

En effet, si l'on prend les deux droites fixes OX, OY pour axes des coordonnées, que l'on appelle a et b les deux longueurs constantes DM et CM,# et y les coordonnées du point M, les triangles semblables MPC, DQM donnent

MP CM y b,

DQ DM \/a2 — x2 a

c'est l'équation (5) du n° i3, résolue par rapport à y. Ainsi la courbe est une ellipse dont les axes ia et 2 b sont dirigés suivant les deux droites rectangulaires données.

34. Il n'est pas nécessaire que le point M soit situé sur la droite mobile entre les points C et D ; il peut être situé sur le prolongement. Considérons la droite CD' dont les deux points C et D' glissent sur les deux droites rectangulaires OX etOY, et cherchons le lieu décrit par le point M. Si l'on appelle a et b les distances D'M et CM, les triangles semblables MPC, D'QM donneront, comme précédemment,

MP MC/ y __b

D'Q-MD'' °U sTaT^-a

C'est sur cette propriété que repose la construction d'un petit instrument appelé compas elliptique. Deux pointes sont fixées en deux points C et D, pris à volonté sur une droite CD, et un crayon au point M ; les deux pointes glissent dans des rainures pratiquées sur deux droites rectangulaires OX et OY; le crayon M décrit l'ellipse d'un mouvement continu. Il est évident qu'une ligne droite est à elle-même sa propre

tangente. Les points C et D du plan mobile décrivent les droites OX'et OY ; les perpendiculaires CI et DI à ces droites déterminent le point I, par lequel passent les normales aux courbes décrites par les différents points de la figure mobile, pour une même position de cette figure. La droite IM est donc normale en M à l'ellipse décrite par ce point : en menant une perpendiculaire à IM, on aura la tangente.

35. Supposons maintenant que deux points E et F du plan mobile glissent sur deux droites fixes quelconques OA et OB (fi g. 27). Les perpendiculaires à ces droites aux points E et F déterminent le point de concours I des normales. Le cercle décrit sur 01 comme diamètre passe par les points E et F ; la droite EF étant constante ainsi que l'angle EOF, le diamètre du cercle est constant. Imaginons que le cercle soit situé dans le plan mobile et emporté dans son mouvement avec la droite EF ; ce cercle passera constamment par le point 0 ; tout point D de la circonférence décrira une ligne droite OY, puisque l'angle inscrit FOD, qui corrige. " respond à l'arc constant FD, est luimême constant.

Considérons un point quelconque M du plan mobile; joignons ce point au centre K du cercle ; les deux points C et D, extrémités du diamètre MK, décrivent deux droites rectangulaires OX et OY ; on en conclut que le point M décrit une ellipse dont les axes, égaux à deux fois les distances CM et DM, sont dirigés suivant OX et OY. La droite IM est normale à l'ellipse au point M.

C0NCH0ÏDE.

36. Étant donnés un point A et une droite CC, par le point A on mène une sécante quelconque AD et, à partir du point D où elle rencontre la droite CC, on porte de part et d'autre une longueur donnée DM et

le lieu des

points M et N est une conchoïde (flg. 28). On voit aisément que cette courbe se compose de deux branches infinies, situées de part et d'autre de la droite CC, et asymptotes à cette droite. La branche de gauche présente des formes différentes suivant que la longueur DM est inférieure, égale ou supérieure à la perpendiculaire ÀB abaissée du point A sur la droite CC Cette courbe rentre dans la catégorie précédente; on peut regarder en effet la droite AD comme se mouvant dans le plan, de manière que Fig. 23. l'un do ses points D décrive la droite

CC, tandis qu'elle glisse sur le point A autour duquel elle tourne ; un point M de cette droite décrit une branche de conchoïde. Considérons le point de la droite mobile qui est en A, lorsque la droite occupe la position AD ; ce point décrit une branche de conchoïde passant par le point A et tangente en ce point a la droite AD ; la normale à cette courbe particulière est la droite AI perpendiculaire à AD. La normale à la ligne décrite par le point D est la perpendiculaire DI à la droite CC ; enjoignant au point M le point d'intersection I de ces deux normales, on a la normale IM à la courbe décrite par le point M ; la perpendiculaire à IM est la tangente en M. Le limaçon (n° 26) est une courbe analogue à la conchoïde ; il suffît de remplacer la droite CC, sur laquelle glisse le point D, par une circonférence de cercle (fig. 29). Considérons encore le point de la droite mobile qui est en A, quand la droite occupe la position AD ; ce point décrit une courbe passant par le point A et tangente en ce point à la droite AD; la normale à cette courbe est la perpendiculaire AI. La normale à la circonférence décrite par le point D est le diamètre DI ; le point de concours I des normales

ifig. 30.

est donc l'extrémité du diamètre qui passe par le point D ; en

joignant IM, on a la normale à la courbe décrite par le point M.