REPRESENTATION DES SURFACES PAR DES EQUATIONS

412. Considérons une surface quelconque dans l'espace. Par un point 0, menons trois axes fixes OX, OY, OZ (fig. 264);

dans le plan XOY prenons un point P arbitraire, et, par ce point, menons une parallèle PM à Taxe OZ jusqu'à sa rencontre

avec la surface au point M; la longueur de l'ordonnée PM est parfaitement déterminée. Quand le point P se déplace dans le plan XOY, l'ordonnée PM varie ; mais puisque le point P se déplace d'une manière arbitraire dans le plan, ses coordonnées x et y sont deux variables indépendantes; il en résulte que l'ordonnée z d'un point M de la surface est une fonction des deux autres coordonnées x et y considérées comme deux variables indépendantes. On conçoit que l'on puisse, de la définition géométrique de la surface, déduire une équation entre x, y, z, servant à définir la fonction z de a? et de y. Cette équation s'appelle l'équation de la surface.

413. Supposons réciproquement que Ton donne une équation f {x, y, z) = o entre trois variables ; chaque système

Fig. 265.

Fig. 266.

Fig. 267.

de valeurs réelles qui satisfont à cette équation détermine un point de l'espace; l'ensemble de toutes les solutions réelles constitue un système de points qui forme, en général, une surface. En effet, considérons d'abord le cas où l'équation, ne renfermant qù ine seule des coordonnées, z par exemple, est de la forme z = c. Puisque les coordonnées x et y sont arbitraires, par un point P quelconque du plan XOY on mènera une ordonnée constante PM (fig. 266) : le lieu des points M est évi-

DES COORDONNEES.

demment un plan parallèle au plan XOY. Supposons maintenant que l'équation renferme deux coordonnées, x et y par exemple. L'équation /(a?, y) = o, dans le plan XOY, représente en général une ligne AB (fig. 267). Par un point quelconque de cette ligne, menons une parallèle PM à l'axe OZ ; puisque l'ordonnée z> qui n'entre pas dans l'équation, est arbitraire, les coordonnées de tous les points de la droite PM satisfont à l'équation. Donc l'équation f(x,y) = o représente dans l'espace un cylindre parallèle à Taxe OZ. Il peut arriver que l'équation représente dans le plan un ou plusieurs points isolés ; dans ce cas, elle représentera dans l'espace une ou plusieurs droites parallèles à OZ.

Considérons enfin une équation f(x, y, z) =0 entre les trois

coordonnées. Sur l'axe Z'Z prenons un point arbitraire c déterminé par la coordonnée z égale à c, et menons le plan ACB parallèle au plan XOY (fig. 268) ; les coordonnées x et y de tous les points du lieu situés dans co plan doivent satisfaire à l'équation f{x, y, c) = 0 ; or cette équation représente dans le plan ACB une ligne AB. Si l'on donne à z une valeur c voisine de c, on aura dans le plan ACB' une seconde ligne A'B' qui différera très-peu de la précédente. En général, quand z varie d'une manière continue entre certaines limites, on a une série continue de lignes, lesquelles forment phe surface. Par cette méthode, non-seulement on démontre l'existence de la surface, mais encore on se fait une idée assez exacte de sa forme, à l'aide d'une série de coupes parallèles que l'on représente par leurs projections sur l'un des plans des coordonnées.

Fis. 268.