Une ligne dans l'espace peut être regardée comme

l'intersection de deux surfaces; on représentera donc cette' ligne par un système de deux équations simultanées (i) f(z,y,z) = o, fi{x,y,z) = o.

Le système (1) peut être remplacé par une infinité d'autres équivalents, par exemple, par le suivant f=oy f—kfl = o, dans lequel k désigne une constante quelconque, c'est-à-dire que la surface f — kfy=o passe, quelle que soit k, par la ligne d'intersection des deux premières. Si, entre les deux équations (1), on élimine successivement y et x, on aura deux équations

qui représentent les deux cylindres projetants de la ligne sur le plan des xz et sur celui des yz. Ces deux cylindres, par leur intersection, déterminent la ligne, à la condition de combiner entre eux d'une manière convenable les points des deux courbes planes, projections de la courbe proposée. En effet, si Ton mène un plan X'O'Y"' parallèle au plan des xy, les traces OX', O'Y'dece plan coupent les courbes projections en plusieurs points; en combinant ces points deux à deux d'une manière quelconque, on n'a pas les projections d'un point de la courbe de l'espace. Pour expliquer ceci par un exemple bien simple, considérons une ellipse dans l'espace ; ses projections sur les deux plans XOZ, YOZ sont aussi des ellipses; les droites O'X', O'Y' rencontrent chacune d'elles en deux points, ce qui donne quatre combinaisons, dont deux seulement sont admissibles, parce que le plan X'O'Y' ne coupe qu'en deux points l'ellipse proposée.

On se rend aisément compte de ce fait général. Lorsqu'on élimine y entre les deux équations (1), on obtient un système <p (xy js)=o, F [x, y, 2) = o, équivalent au système proposé; de même l'élimination de y entre les équations donne un nouveau système ty(y, z) = o, Ft [x, yy z) = 0 équivalent au système proposé ; il n'en résulte pas en général que le système des équations (2) soit équivalent au système des équations (1).

La représentation des figures dans l'espace par des symboles algébriques permet d'étendre aux figures à trois dimensions les méthodes analytiques employées dans l'étude des figures

planes,