Pour déterminer dans l'espace une direction
(fig. 269), que l'on peut supposer appartenir à une droite passant à l'origine, on donne les angles a, p, y de cette direction avec les trois directions OX, OY, OZ des coordonnées positives. Deux de ces angles ne suffisent pas ; car si l'on décrit autour de OX et de OY deux demi-cônes dont les
Fig# 269# angles au sommet soient respec-
tivement <x et p, ces deux cônes se coupent suivant deuxgénératrices placées symétriquement par rapport au plan XOY; la connaissance de y est donc indispensable. Il est évident, d'ailleurs, que ces trois angles ne sont pas tous arbitraires, et que, lorsque deux d'entre eux sont connus, le troisième ne peut avoir au plus que deux valeurs distinctes. Au lieu des angles, on peut prendre leurs cosinus, puisque de 0 à x il n'y a qu'un seul angle ayant un cosinus donné. Les sinus, au contraire, laisseraient de l'ambiguïté.
416. Considérons d'abord le cas où les coordonnées sont rectangulaires. Désignons par x, y, z les coordonnées d'un point quelconque M de la droite 01, et appelons / la distance OM. Les coordonnées du point M sont les arêtes OD, OE, OF du parallélipipède rectangle dont OM est la diagonale, affectées de signes convenables; ce sont aussi les projections orthogonales de la diagonale OM sur les axes ; on a donc
# = /cOSa, y = /C0Sp, 2 = ZC0SY.
Mais on sait que le carré de la diagonale d'un parallélipipède
rectangle est égal à la somme des carrés des trois arêtes, ce qui donne x2-{-y2-\-z2=l2 ; remplaçant x, y, z par leurs valeurs et supprimant le facteur /25 on obtient la relation
( i ) cos2a -f- cos2p + cos2y = i ,
qui existe entre les cosinus des angles formés par une même direction avec les axes rectangulaires.
417. Appelons a, p', y' les angles que fait une seconde direction 01' avec les mêmes axes, et cherchons l'angle V des deux directions 01, 01'. Les projections de la droite OM et de la ligne brisée ODCM sur la droite 01' étant égales, on a
/ cos V = x cos a + y cos p' + z cos y',
ou, en remplaçant x, y, z par leurs valeurs,
(2) COS V = COS oc COS a' -f- COS P COS p' + COS y COS y'.
Deux directions 01, 01' sont perpendiculaires entre elles, lorsque la condition suivante est vérifiée
(3) COS a COS 0! -f- COS p COS p' + COS y COS y' = 0.
418. Supposons maintenant les coordonnées obliques et désignons par X, y-, v, les trois angles YOZ, ZOX, XOY, que font les axes deux à deux. En projetant orthogonal ement sur chacun des trois axes la droite OM et la ligne brisée ODCM, on a
Îl cos a = x + y cos v -f- z cos p,
Z cos p = x cos v -1- y -f z cos X,
l cos y = x cos {x + y cosX + z;
en projetant ces mêmes lignes sur la droite 01, on a
(5) l = x cos a + y cos P + z cos y.
•Si, des équations (4), on tire les valeurs de x, ?/, z}
__ cos a (1 •— cos2 V + cos p (cos X cos \i — cos v) + cos y (cos X cos v — cos |x) 1 V>)x— 1 — cos2X— cos2y, — eos2v + 2eosXcos^cosv '"'
et qu'on les substitue dans l'équation (5), on obtient la relation
(7) cos2asin2X + cos2psin2^ + cos2ysin2v + 2COSpcosy(cos{xcosv— cosX)
-f 2 cos y cos a (cos v cos X — cos^) + 2COsacosP(cosXcos[Jt. — cosv)
= 1 — C0S2X — COS2^ — COS2V + 2C0SXC0S{JIC0SV,
entre les trois angles formés par une direction quelconque avec les Oixes obliques.
Si, dans l'équation (5), on remplace cos a, cos p, cos y par leurs valeurs tirées des équations (4), on a la formule
(S) P=x2 + y* + z2 + zyz cosX-f-2£a?cos{x-f 2xy cosv,
qui donne la distance OM.
En projetant sur la droite 01' la droite OM et la ligne brisée ODGM, on a, comme précédemment,
ZcosV=a? cosa'-fycosP' + z oosy';
en remplaçant x, 2/, z par leurs valeurs (6), on obtient la formule
( cosacosa'sin2X + cos (i cos p' sin2fx + cos y cos y' sin2v ) \ -f- (cos a cos p' + cos p cos a!) (cos X cos [/, — cosv) + ... )
