COS V = 1 — C0S2X — C0S2(X— C0S2V+ 2C0SXC0S|XC0SV

qui donne l'angle des deux directions 01 et 01'.

Le dénominateur commun ou le déterminant des formules (6) peut être mis sous une forme remarquable qu'il est bon de connaître ; on a

1 — cos2X — cos2jx — cos2v -f- 2 cos X cos \x cos v

2= (1 — cos2X) (i — COS2[x) — C0S2XC0S2[X — cos2v 4- 2C0SXC0S!J.C0S*

= sin2Xsin2[x — (cos X cos {x — cosv)2

= (sin X sin (x — cos X cos [x -f- cos v) (sin X sin jx -j- cos X cos [x — cos v)

= [cosv — cos (X-i-[x)] [cos(X — (x) — cosv]

, . X'+tx + v . tx + v — X . v-}-X — [x . X-f-fx — v = 4 sin sin sin sin -•

419. Ce déterminant, que nous désignons par q, a une signification géométrique très-simple. Lorsque la droite OM est perpendiculaire au plan XOY, les équations (4) se réduisent à

(X + V COS V-j-ZCOStX=r o,

< x cos v -f y +zcosX = o,

(#COS{X + y cosX + Z = /C0Sy.

On en tire

l cos y (1 — cos2 v) __ l cos y sin2 v Z - û ' "* Cl

L'équation (5) se réduisant à l = z cos y, on obtient la relation

(10) cos2 y sin2 v = Q.

Considérons le parallélipipède que l'on forme en portant sur les axes des coordonnées les longueurs a, 6, e; Taire de la base étant ab sin v, et la hauteur c cos y, le volume est (u) V = abc cos y sin v = abc V^O-

Ainsi le déterminant Q est égal au carré du volume du parallélipipède que l'on forme en portant sur les axes des coordonnées des longueurs égales à l'unité.