PERPENDICULAIRE A DEOX DROITES DONNÉES

420. Représentons par a, 6, c et a', 6', c' les cosinus des angles qut font deux directions données 01 et 01' avec les axes des coordonnées que nous supposons rectangulaires et désignons par a", b", c" les cosinus des angles que fait avec les mêmes axes une droite 01" perpendiculaire aux deux droites 01 et Or. Des deux équations

qui expriment que la direction OV est perpendiculaire aux deux autres, on tire

bc'—cb'~ca' — ac'

Mais on a

" ab'—ba' ^/(bc'—cb')2 + (ca'— ac')a + (a6'- 6a')*

(6c' - cb'f + {ca!^ ao'f + (aV — 6a')1

= (ai + b 2 + c2) (a'2 + 6'2 + c'2) — (aa' + bbf + ce')2 = i — cos2 V = sin* Vt V étant l'angle des deux directions données, angle compris entre @ et w. Il en résulte

(iaî

6c' — cb' ca! — ac' aô' — - 6a' "

" sin V

Le double signe se rapporte aux deux directions de la perpendiculaire au plan IOI'.

Quand un corps solide tourne autour d'un axe fixe, la rotation peut s'effectuer dans deux sens différents, qu'il importe de distinguer. Pour indiquer le sens du mouvement, on représente l'axe de rotation par une demi- droite, telle que 01", de manière qu'un observateur placé sur cette demi-droite, les pieds en 0, la tête en ï", voie la rotation s'effectuer dans un sens convenu, par exemple de gauche à droite en avant; c'est là ce que l'on nomme le sens direct de la rotation. Dans la question actuelle, nous supposerons que la perpendiculaire 01" au plan 101' a été menée dans un sens tel que, pour un observateur placé sur cette demi-droite 01", comme nous l'avons dit, une rota-

Uon autour de cette droite d'un angle V inférieur à n, dans le sens direct, amène la direction 01 sur 01'.

Si l'on considère l'angle trièdre trirectangle OXYZ, on remarque

que les trois rotations d'une amplitude égale à - autour des axes OX,

OY, OZ, qui amènent OY sur OZ, OZ sur OX, OX sur OY, s'effectuent dans le même sens. L'angle trièdre offre deux dispositions différentes, suivant que ce sens est direct ou inverse. Nous supposerons dans ce qui suit que l'angle trièdre présente la disposition caractérisée par le sens direct des rotations.

Concevons maintenant que l'on fasse tourner l'angle trièdre OUI", considéré comme un corps solide, autour du point 0, de manière à amener 01" sur OZ et 01 sur OX ; alors la droite OF sera située dans le plan XOY. et l'angle V sera compté en tournant de OX vers OY.

Pour cette position particulière, onaa=i, b = c = o, a' = cos V, b' = sin V, c' = o; la valeur de c" étant égale à -f- i, il faut prendre le signe -f dans les formules (12). Mais, quand l'angle trièdre se déplace d'une manière continue, les angles et par conséquent leurs cosinus variant d'une manière continue, on doit conserver le même signe pour chacune des inconnues a", ô", c", tant que le dénominateur correspondant ne s'annule pas ; d'ailleurs les trois dénominateurs ne peuvent s'annuler en même temps, puisque la somme de leurs carrés est égale â la quantité constante sin2 V; on en conclut que le signe + doit être conservé pour toutes les positions de l'angle trièdre.

Fig. 271.