CHANGEMENT DE LA DIRECTION DES AXES

422. Considérons maintenant le cas où l'on change la direction des axes, l'origine demeurant la même. Désignons par a, b, c les cosinus des angles que fait l'axe OX' avec les trois axes OX> OY, OZ, par a', b\ c' et a", b", c" les quantités analogues pour OY' et OZ', et, enfin, par X, jx, v, les angles YOZ, ZOX, XOY (fig. 272).

Soit M un point quelconque de l'espace; par le point M menons une parallèle MC à l'axe OZ, et par le point C, où cette droite perce le plan XOY, une parallèle CD à l'axe OY; les trois longueurs OD, DC, CM, prises avec les signes convenables,

sont les coordonnées x, y, z du point M par rapport aux anciens axes. Par le point M, menons une parallèle MC à l'axe

OZ' et par le point C où elle perce le plan X'OY', une parallèle CD' à Taxe OY; les trois longueurs OD', D'C, CM, prises avec les signes convenables, sont les coordonnées x', y', zf du point M, par rapport aux nouveaux axes. En projetant orthogonalement les deux lignes brisées ODCM, OD'C'M, successivement sur chacun des trois axes OX, OY, OZ, Fig. 272. on obtient les trois relations

Ix + y cos v 4~ z cos v- — ax' 4~ aY ■+- a" z'> #cosv +y + zcosà = bx' -\-b'yr + ÔV,

x cos [/. -f- y cos A + z = cx' + c'y' + c" z'>

desquelles on peut déduire pour x, y, z, des expressions du premier degré en x\ y\ z'. Le déterminant de ces équations est le même que celui des équations (4) du n° 4i8.

Il faut se rappeler que a, b, c ne sont pas arbitraires, mais liées par une équation de condition ; il en est de même de a', b\ c' et de a", b", c". Il y aurait entre ces mêmes quantités trois nouvelles relations, si l'on voulait que les nouveaux axes fussent rectangulaires, ou, plus généralement, qu'ils fissent deux à deux des angles donnés.