Quand les axes primitifs sont rectangulaires, on a
COS A = COS [/. = COS V = cos - = o,
et les équations (2) se réduisent à
Ix = axr -\- a! y' -j- a? z\ z = cx' + cy +c" z'.
Alors les relations entre les cosinus sont
la2+b2+c>=i, )a'*+b'*+c'i = it
Si les nouveaux axes sont aussi rectangulaires (fig. 273) on a en outre les relations
la'ar+b'V + (fcr = o9 (5) )a"a-\-b"b +e"c=o, ( ad + bV -f- cc' = °- Si Ton multiplie les deux membres des équations (3) par a, b, cf puis par a\ b\ c et a", b\ c", et qu'on ajoute, il vient, en ayant égard aux relations (4) et (5), x' = ax-\-by -\-cz, y' = a'x-\-b'y +c'z, {ï = (fx + Vx-\-c9z.
On obtient ces formules directement en projetant les lignes brisées ODCM, OD'C'M sur les axes OX', OY', OZ'.
Puisque les nouveaux axes sont rectangulaires, les quantités (0, a!, a"), (b, b', ¥)> (c, c', c"), qui désignent les cosinus des angles des directions OX, OY, OZ avec les nouveaux axes, doivent satisfaire aux relations
1^ + ^ + ^ = !, (?) fti + iff" + ft*1 = i, (8)
analogues aux relations (4) et (5).
D'après les formules (12) du n° 420, on
ôc+'6V+JV = o, ca -|- c'a' + c"a" = °> ab + a'b' + a"b" = o,
bc' — cb' ca' — ac' ab' — ba'
On prendra le signe -f- ou le signe — suivant que les deux angles trièdres OXYZ, O'X'Y'Z' peuvent ou ne peuvent pas être disposés de façon que les droites OX et OX', OY et OT, OZ et OZ' coïncident.
En vertu de ces relations, le déterminant des équations (5) ou (6) est égal à ± 1 .
TRANSFORMATION DES COORDONNEES.
FORMULES D EULEB
424. Les formules précédentes, pour passer d'un système rectangulaire à un autre également rectangulaire, offrent l'avantage d'être symétriques par rapport aux angles; mais, quoique les angles soient au nombre de neuf, il n'y en a réellement que trois qui soient arbitraires ; c'est pourquoi il ne faut jamais perdre de vue les relations qui les lient. Cette dépendance des neuf cosinus est, dans certains cas, un obstacle pour constater l'identité de deux expressions. On a donc cherché des formules dans lesquelles n'entrent que trois constantes ; le choix de celles-ci était naturellement indiqué dans plusieurs questions de mécanique et d'astronomie, où Ton emploie de préférence les nouvelles formules.
On peut déterminer la position des nouveaux axes par l'angle ^ que
fait avec OX la trace OA du plan X'O'Y' sur le plan XOY, l'inclinaison e du plan X'OY' sur le plan XOY , inclinaison mesurée par l'angle ZOZ', enfin l'angle <p de Taxe OX' avec la trace OA (fig. 274).
Or, si les deux systèmes d'axes présentent la même disposition, il est possible d'amener le premier sur le second par trois rotations Fio- 274. successives. Faisons tourner d'a-
bord les axes primitifs de l'angle <j, autour de OZ ; tandis que l'axe OZ reste immobile, les axes OX et OY tournent dans leur plan de l'angle 4>; Taxe OX vient donc occuper la position OA ou OXf, et OY une certaine position OY1# Remarquons que l'axe OZ', perpendiculaire au plan X'OY', et, par suite, à la trace OA, est contenu dans le plan YtOZ perpendiculaire à OA. Actuellement, faisons tourner l'angle trièdre OX,Y,Z de l'angle 8 autour de OA; tandis que l'axe OXt reste immobile, les deux axes OY4 et OZ tournent dans leur plan de l'angle 6; donc OZ vient occuper la position OZ', et OY4 une certaine position 0Y9 comprise dans le plan X'OY'. Enfin, faisons tourner l'angle trièdre OXjYaZ' de l'angle 9 autour de OZ'; puisque les deux axes OXt, OY2 tournent dans leur plan de l'angle 9, il en résulte que OXt vient se placer sur OX', et OY2 sur OY'. Après ces trois rotations successives, les axes primitifs coïncident avec les nouveaux axes.
Nous avons considéré quatre systèmes d'axes, savoir : OXYZ, OX^Z, OXiYaZ', OX'Y'Z'. Deux systèmes consécutifs ayant un axe commun, on passera de l'un à l'autre par les formules de transformation em-
pïoyées en Géométrie plane (n° 5o). On a ainsi, par des transformations successives,
a?=tfiCos4*— ^sin^, 2/l=y2coso— -s'sinO, a?1 = œ'cos<p — y'sinç, y^^iSin^-f 2/iCOs^, z =y2 sinô-i-a'cosô, v2 = œ/sinq> + 2/'cos<p. L'élimination des quantités auxiliaires a^, y1? y2 donne
lx— a?'(eos <p cos 4. — sin 9 sin ty cos 0) +y'(— sin 9 cos^ — cos 9 sin ^ cos 0)
+ z' sin ^sinô, ly= #'(cos 9 sin ^ -f- sin 9 cos ty cos 0) +y'{— sin 9 sin^ -f cos 9 cos<j> cos 6) 1 +2' ( — cos ty sin 0), U= a?' sin 9 sinO 4. y' cos 9 sin 9 -f- z'cos 9. Telles sont les formules connues sous le nom de formules d'EuLER.
La comparaison de ces formules, avec les formules (3) du n° 423, conduit aux relations suivantes :
a = cos 9 cos <I> — sin 9 sin <|/ cos 0, b = cos 9 sin ty -+- sin 9 cos 4> cos 0, c = sin 9 sin 9 ,
a' = — sin 9 cos ty — cos 9 sin 4/ cos 9, (n) ( 6' = — sin 9 sin 4, + cos o cos 4> cos 9,
! c' = cos 9 sinO, a" = sin 4» sin 9, 6" = — cos 4> sin 9, c" = cos C d'où
tang9 = -, tang4/=n— ^.
On a amené le système primitif sur le système nouveau par trois rotations effectuées dans le sens direct. L'angle 9 de la rotation autour de OZ varie de o à 2tc; l'angle 0 de la rotation autour de OÀ est compris entre o et tt, pourvu que sur l'intersection des plans XOY et X'OY' on choisisse convenablement la direction OA; l'angle de rotation 9 autour de OZ' varie de o à 2rc.
425. Formules générales. Lorsqu'on change à la fois l'origine et la direction des axes, en menant par la nouvelle origine O', dont les coordonnées relativement à l'ancien système sont a, b} c, trois axes OXi, OYi, OZi, parallèles aux premiers et de mêmes directions, on a x=a-\-xt1 y=b-\-yif z=c-\-zi; ensuite, xiy yiy z^ s'expriment en x\ y', z', par l'un des groupes d'équations écrites précédemment-, il suffit donc, pour avoir les formules générales, de remplacer dans ces équations x, y, z respectivement par x — a. y — b, z — c.
