CLASSIFICATION DES SURFACES

420. On distingue les surfaces, comme les lignes planes, en surfaces algébriques et surfaces transcendantes, suivant que leurs équations sont algébriques ou transcendantes. Quand l'équation est algébrique, elle peut toujours se ramener à la forme entière, et une transformation d'axes rectilignes ne change pas son degré. Le nombre qui exprime ce degré sert à classer les surfaces en ordres ; ainsi on dit qu'une surface est du premier, du second, du troisième ordre, etc., lorsque son équation est du premier, du second, du troisième degré, etc.

Pour que l'équation f(x, y, z)=o, algébrique et entière du degré m, représente réellement une surface de l'ordre m, il faut que son premier membre ne puisse pas se décomposer en un produit de deux fonctions entières, c'est-à-dire qu'elle soit irréductible. Deux équations irréductibles distinctes représentent deux surfaces qui peuvent avoir une ou plusieurs lignes communes, mais ces surfaces n'ont jamais d'éléments superficiels communs ; car pour avoir des solutions communes aux deux équations, on ne peut pas prendre arbitrairement, même entre des limites très-resserrées, deux des variables.

Un plan coupe une surface algébrique de l'ordre m suivant une ligne algébrique dont l'ordre ne peut dépasser m; en effet, si l'on rapporte cette surface à un système de trois plans coordonnés, dont fasse partie celui que l'on considère, on obtient l'équation de la ligne d'intersection, par rapport à deux des axes coordonnés, en remplaçant dans l'équation de la surface l'une des coordonnées par zéro ; le polynôme à deux variables qui en résulte ne peut évidemment être d'un degré supérieur à m. Une ligne droite rencontre une surface de l'ordre m en m points au plus, ou bien elle est située tout entière sur la surface.

Une surface du premier ordre, étant coupée par un plan quelconque suivant une ligne droite, est un plan.

Deux surfaces algébriques, dont les degrés sont m et m', se coupent suivant une courbe gauche qui est rencontrée par un

GÉOM. ANALYT. 33

Fig. 275.

plan en mm! points ; car ce plan coupe les deux surfaces suivant deux lignes planes d'ordres m et m', qui ont, par conséquent, mm' points communs. On dit que la courbe gauche est de Tordre miri.